יחס שקילות – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ הוספת קישור לבאופן ריק |
עריכה, תמונה |
||
שורה 1:
[[קובץ:Set partition.svg|שמאל|ממוזער|250px|[[מעגל#עיגול|עיגול]] מחולק ל[[#מחלקות שקילות|מחלקות שקילות]] המסומנות ב[[צבע]]ים שונים.]]▼
{{סימון מתמטי}}
[[קובץ:Set partitions 5; matrices.svg|ממוזער|52 יחסי השקילות האפשריים של קבוצה של 5 איברים. תאים שאינם לבנים הם איברים שמקיימים את הייחס. והצבעים השונים, מלבד אפור בהיר, מציינים את מחלקות השקילות (כל תא אפור בהיר הוא מחלקת השקילות של עצמו).]]
ב[[מתמטיקה]], '''יחס שקילות''' הוא דרך לאגד לקבוצות, באופן טכני ומדויק, עצמים מופשטים שיש להם תכונות משותפות. קבוצות אלה נקראות '''[[מחלקת שקילות|מחלקות שקילות]]''', בלוקים או תאים. לדוגמה, אפשר לחלק את כל ה[[משולש]]ים למחלקות דמיון, כאשר כל המשולשים במחלקה דומים זה לזה. חלוקה כזו חוקרת למעשה את יחס הדמיון, בכך שהיא מתאימה בין משולשים דומים ומפרידה משולשים שאינם דומים.
שורה 14:
# [[יחס רפלקסיבי|'''רפלקסיביות''']]: כל איבר עומד ביחס עם עצמו, כלומר <math>a\mathcal{R}a</math> לכל <math>a\isin A</math>. לדוגמה, תכונה זו מתקיימת תמיד עבור היחס "שווה ל", כי כל איבר תמיד שווה לעצמו.
# [[יחס סימטרי|'''סימטריות''']]: אם <math>a</math> עומד ביחס עם <math>b</math> אזי גם <math>b</math> עומד ביחס עם <math>a</math>, כלומר: <math>a\mathcal{R}b\Leftrightarrow b\mathcal{R}a</math>. לדוגמה: היחס "אח של" הוא סימטרי כי אם יעקב אח של עשו אז גם עשו אח של יעקב. לעומת זאת, יחס ההורות "אב של" איננו סימטרי כי אם יצחק אב של יעקב, יעקב אינו אב של יצחק.
#'''[[טרנזיטיביות]]''': אם <math>a</math> נמצא ביחס ל-<math>b</math> ו-<math>b</math> נמצא באותו היחס ל-<math>c</math> אזי גם בין <math>a</math> ל-<math>c</math> מתקיים אותו היחס, ובניסוח פורמלי: <math>a\mathcal{R}b,b\mathcal{R}c\Rightarrow a\mathcal{R}c</math>. לדוגמה, תכונה זו מתקיימת תמיד עבור היחס "קטן מ", כי אם <math>a</math> קטן מ-<math>b</math> ו-<math>b</math> קטן מ-<math>c</math>, אז <math>a</math> קטן מ-<math>c</math>.
סימטריה וטרנזיטיביות אינן מספיקות כדי להכריח יחס להיות רפלקסיבי. לדוגמה, היחס הריק (שלא מתקיים לאף זוג איברים) על קבוצה לא ריקה הוא סימטרי וטרנזיטיבי [[באופן ריק]], אך אינו רפלקסיבי.
==מחלקות שקילות==
▲[[קובץ:Set partition.svg|שמאל|ממוזער|250px|[[מעגל#עיגול|עיגול]] מחולק ל[[#מחלקות שקילות|מחלקות שקילות]] המסומנות ב[[צבע]]ים שונים.]]
יחס שקילות מחלק את ה[[קבוצה (תורת הקבוצות)|קבוצה]], שמעליה הוא מוגדר, ל'''מחלקות שקילות''': בהינתן קבוצה <math>A</math> ויחס שקילות <math>R</math> שהוגדר עליה, מגדירים את '''מחלקת השקילות''' של איבר כלשהו כקבוצת כל האיברים השקולים לו. מתכונות יחס השקילות עולה שכל איבר בקבוצה יהיה שייך ל[[מחלקת שקילות]] אחת בלבד, ולכן יחס השקילות מחלק את הקבוצה לתת קבוצות זרות שה[[איחוד (מתמטיקה)|איחוד]] שלהן הוא הקבוצה כולה.
| |||