שיטת ניוטון-רפסון – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
איתן מויקיפדיה (שיחה | תרומות) אפשרות הצעות קישורים: נוסף קישור אחד. |
←הכללות: הרחבה על פונקציות מרוכבות |
||
שורה 130:
==הכללות==
===לממדים גבוהים===▼
בשנת [[1879]] פרסם המתמטיקאי [[ארתור קיילי]] לראשונה הכללה של השיטה ל[[פונקציה מרוכבת|פונקציות מרוכבות]].▼
=== לפונקציות מרוכבות ===
▲בשנת [[1879]] פרסם המתמטיקאי [[ארתור קיילי]] לראשונה הכללה של השיטה ל[[פונקציה מרוכבת|פונקציות מרוכבות]].
[[קובץ:Newtroot 1 0 0 0 0 m1.png|ממוזער|נקודות משיכה עבור <math>x^5-1=0</math>. נקודות כהות יותר משמעותן כי נדרשות יותר איטרציות כדי להתכנס.]]
כאשר עוסקים בפונקציות מורכבות, ניתן ליישם ישירות את שיטת ניוטון כדי למצוא את האפסים שלהן<ref>{{צ-ספר|מחבר=Peter Henrici|שם=Applied and Computational Complex Analysis|שנת הוצאה=1974}}</ref>. לכל אפס יש נקודת משיכה במישור המרוכב, קבוצת כל ערכי ההתחלה שגורמים לשיטה להתכנס לאפס המסוים הזה. ניתן למפות קבוצות כאלה כמו בתמונה המוצגת. עבור פונקציות מורכבות רבות, גבולות אגני המשיכה הם [[פרקטל|פרקטלים]].
במקרים מסוימים ישנם אזורים במישור המורכב שאינם נמצאים באף אחד מאגני המשיכה הללו, כלומר האיטרציות אינן מתכנסות. לדוגמה<ref>{{צ-מאמר|שם=A Chaotic Search for i|קישור=https://doi.org/10.1080/07468342.1991.11973353|כתב עת=The College Mathematics Journal|שנת הוצאה=1991-01-01|עמ=3–12|כרך=22|doi=10.1080/07468342.1991.11973353|מחבר=Gilbert Strang}}</ref>, אם משתמשים בתנאי התחלתי אמיתי כדי לחפש שורש של <math>x^2+1</math>, כל האיטרציות הבאות יהיו מספרים ממשיים ולכן האיטרציות לא יכולות להתכנס לאף אחד מהשורשים, מכיוון ששני השורשים אינם אמיתיים. במקרה זה כמעט כל התנאים ההתחלתיים האמיתיים מובילים להתנהגות [[תורת הכאוס|כאוטית]], בעוד שמצבים ראשוניים מסוימים חוזרים עד אינסוף או למחזורים חוזרים בכל אורך סופי.
המתמטיקאי קורט מקמלן הראה כי לכל אלגוריתם איטרטיבי אפשרי טהור הדומה לשיטת ניוטון, האלגוריתם יתפצל בחלק מהאזורים הפתוחים של המישור המורכב כשהוא מיושם על פולינום כלשהו בדרגה 4 ומעלה. עם זאת, מקמולן נתן אלגוריתם מתכנס בדרך כלל לפולינומים בדרגה 3.<ref>{{צ-מאמר|שם=Families of Rational Maps and Iterative Root-Finding Algorithms|קישור=https://www.jstor.org/stable/1971408|כתב עת=Annals of Mathematics|שנת הוצאה=1987|עמ=467–493|כרך=125|doi=10.2307/1971408|מחבר=Curt McMullen}}</ref>
▲===לממדים גבוהים===
בדומה, ניתן להכליל את השיטה גם ל[[שדה סקלרי|שדות סקלריים]], באמצעות [[כלל נסיגה|כלל הנסיגה]],
<math display="block">x_{n+1} = x_n - \left(\mathbf{J}_f(x_n)\right)^{-1}f(x_n)</math>
| |||