הבדלים בין גרסאות בדף "פונקציה מחזורית"

נוספו 332 בתים ,  לפני 13 שנים
מ
ועדת קישוט
מ (←‏דוגמאות: תקלדה)
מ (ועדת קישוט)
ב[[מתמטיקה]], '''פונקציה מחזורית''' היא פונקציה אשר הערכים שהיא מקבלת חוזרים על עצמם כאשר מוסיפים למשתנה הבלתי תלוי שלה גורם קבוע, כלומר, <math>\ f(x+c)=f(x)</math> לכל <math>\ x</math>, עבור קבוע <math>\ c</math> מתאים, הקרוי '''אורך המחזור'''. בין הדוגמאות הבולטות: הפונקציות הטריגונומטריות [[סינוס]] ו[[קוסינוס]] (בעלות מחזור <math>\ 2\pi</math>), ופונקציית ה[[טנגנס]], שמחזורה [[פאי]]. בפונקציות מחזוריות, [[פונקציה ממשית|ממשיות]] בעיקר, עוסקת [[אנליזת פורייה]].
 
==הגדרה==
 
פונקציה [[פונקציה ממשית|ממשית]] או [[פונקציה מרוכבת|מרוכבת]] <math>\ f</math> היא '''מחזורית''', אם קיים קבוע <math>\ T\neq 0</math> כך שלכל <math>\ x</math> (ממשי או מרוכב, בהתאמה), מתקיים <math>\,f(x) = f(x+T)</math>. כל קבוע <math>\ T</math> כנ"לכזה נקרא '''מחזור''' של הפונקציה. אוסף המחזורים הוא [[תת חבורה]] של השדה (הממשי או המרוכב, בהתאמה). המקרה שבו חבורת המחזורים אינה [[קבוצה דיסקרטית|דיסקרטית]] הוא מקרה פתולוגי, המתאפשר רק כאשר הפונקציה קבועה, או אינה [[פונקציה אנליטית|אנליטית]].
 
במקרה הממשי, אם חבורת המחזורים דיסקרטית אז היא [[חבורה ציקלית|ציקלית]], בעלת יוצר יחיד, שהוא המחזור בעל [[ערך מוחלט]] קטן ביותר. מספר זה הוא '''המחזור''' של הפונקציה, וכל מחזור אחר מהווה כפולה שלמה שלו. גם במקרה המרוכב יתכן שחבורת המחזורים ציקלית, ואז משתמשים באותה טרמינולוגיה.
 
==דוגמאות==
* הדוגמאות הנפוצות ביותר, ובמובן מסוייםמסוים הטבעיות ביותר הן ה[[פונקציות טריגונומטריות|פונקציות הטריגונומטריות]]: <math>\ \sin(x),\cos(x),\tan(x)</math>, כאשר ל -<math>\ \sin(x),\cos(x)</math> מחזור של <math>\ 2\pi</math>, ול -<math>\ \tan(x)</math> מחזור של <math>\ \pi</math>.
* פונקצית ה[[אקספוננט]] <math>\,f(z) = e^z</math> היא [[פונקציה מרוכבת]] מחזורית בעלת מחזור <math>\,2\pi i</math>. כפונקציה ממשית, פונקציית האקספוננט אינה מחזורית (היא [[פונקציה עולה|מונוטונית עולה]]).
* [[פונקציית דיריכלה]] היא פונקציה מחזורית, משום שלכל [[מספר רציונלי]] ''<math>\ q''</math> ולכל [[מספר ממשי]] ''<math>\ x''</math> מתקיים ש-<math>\ ''x+q''</math> הוא רציונלי אם ורק אם ''<math>\ x''</math> הוא רציונלי, ולפיכך <math>\,D(x+q)=D(x)</math>. מכיוון שכל רציונלי ''<math>\ q''</math> הוא מחזור של ''D''הפונקציה, הרי שאין ל''D''לפונקציית דיריכלה מחזור מינימלי.
* כל [[פונקציה קבועה]] היא מחזורית, וכל מספר מהווה מחזור שלה.
* הפונקציה <math>\ f(x)=x-[x]</math> כאשר <math>\ [x]</math> מייצג את [[פונקציית הערך השלם|הערך השלם]] של המספר היא בעלת מחזור של 1.
[[קטגוריה: אנליזה מתמטית]]
* פונקציה מחזורית ו[[רציפות|רציפה]] על הישר היא [[רציפות במידה שווה|רציפה במידה שווה]].
 
 
[[en:Periodic function]]