חבורת התמורות הזוגיות – הבדלי גרסאות

תיקוני לינקים והרחבה קלה
(תיקוני לינקים והרחבה קלה)
ב[[תורת החבורות]], '''חבורת התמורות הזוגיות''' הוא שמה של [[תת חבורה]] מסוימת וחשובה של [[החבורה הסימטרית]]. לכל [[מספר טבעי]] <math>\ n</math>, מחצית מבין <math>\ n!</math> ה[[תמורה (מתמטיקה)|תמורות]] בחבורה הסימטרית <math>\ S_n</math> הן בעלות [[סימן (תורת החבורות)|סימן]] <math>\ +1</math>, ומחצית הן בעלות סימן <math>\ -1</math>. הקבוצה של <math>\ \frac{n!}{2}</math> התמורות בעלות סימן חיובי היא תת חבורה מ[[אינדקס (תורת החבורות)|אינדקס]] 2 של <math>\ S_n</math>, שאותה מקובל לסמן באות <math>\ A_n</math> (Alternating Group). בסימון זה משתמשים גם עבור הטיפוס של החבורה הסימטרית עצמה, בתור [[חבורת קוקסטר]].
 
כל תמורה אפשרניתנת לכתובלכתיבה כמכפלה של [[חילוףתמורה (תורת החבורותמתמטיקה)#סוגי תמורות|חילופים]] (טרנספוזיציות). ניתן אמנם להציג תמורה נתונה כמכפלה של חילופים באופנים שונים, ומספרם של החילופים אינו בהכרח קבוע. עם זאת, ה'''זוגיות''' של מספר החילופים, כלומר השארית בחלוקה לשתיים, אינה משתנה. '''חבורת התמורות הזוגיות''' כוללת את התמורות שהן מכפלת [[מספר זוגי]] של חילופים. לדוגמה,מכיוון היא כוללת את כל ה[[מחזור (תורת החבורות)|מחזורים]] באורך 3, בעלי הצורה <math>\ (abc)</math>. קבוצת המחזורים באורך 3 [[יוצריםשסימן של חבורה|יוצרת]]מכפלת אתתמורות <math>\שווה A_n</math>.למכפלת אם <math>\ n\geq 4</math> אפשר ליצור את החבורה באופן דומה, על ידי התמורות מהצורה <math>\הסימנים (ab)(cd)</math> כאשר <math>\ a,b,c,d</math> שונים זה מזה.
<math>\ \mbox{sgn} (\tau\cdot\sigma)=\mbox{sgn}(\tau)\cdot \mbox{sgn}(\sigma)</math>
), מכפלה של תמורות זוגיות היא זוגית, ולכן אוסף התמורות הזוגויות מהווה חבורה.
 
לדוגמה, <math> \ A_n</math> כוללת את כל ה[[תמורה (מתמטיקה)#סוגי תמורות|מחזורים]] באורך 3, בעלי הצורה <math>\ (abc)</math>. קבוצת המחזורים באורך 3 [[חבורה (מבנה אלגברי)#יוצרים ויחסים|יוצרת]] את <math>\ A_n</math>. אם <math>\ n\geq 4</math> אפשר ליצור את החבורה באופן דומה, על ידי התמורות מהצורה <math>\ (ab)(cd)</math> כאשר <math>\ a,b,c,d</math> שונים זה מזה.
חשיבותן הרבה של החבורות <math>\ A_n</math> נובעת מכך שהן [[חבורה פשוטה|חבורות פשוטות]] לכל <math>\ n\geq 5</math>. בפרט, החבורה <math>\ A_5</math>, שסדרה 60, היא החבורה הפשוטה הקטנה ביותר. משפחה זו של חבורות פשוטות היא הראשונה שהתגלתה. שאר החבורות הפשוטות הסופיות, פרט ל-26 [[חבורה פשוטה ספורדית|החבורות הספורדיות]], הן חבורות של [[מטריצה|מטריצות]] מעל [[שדה סופי|שדות סופיים]].
 
חשיבותן הרבה של החבורות <math>\ A_n</math> נובעת מכך שהן [[חבורה פשוטה|חבורות פשוטות]] לכל <math>\ n\geq 5</math>. בפרט, החבורה <math>\ A_5</math>, שסדרה 60, היא החבורה הפשוטה הקטנה ביותר (שאינה [[חבורה ציקלית|ציקלית]]). משפחה זו של חבורות פשוטות היא הראשונה שהתגלתה. שאר החבורות הפשוטות הסופיות, פרט ל-26 [[חבורהמשפט פשוטההמיון ספורדיתלחבורות פשוטות סופיות#החבורות הספורדיות|החבורות הספורדיות]], הן חבורות של [[מטריצה|מטריצות]] מעל [[שדה סופי|שדות סופיים]]. העובדה שהחבורות <math> \ A_n</math> הן פשוטות לכל n > 4, משמשת, לדוגמא, בהוכחת אחד המשפטים המרכזיים ב[[תורת גלואה]] - שלא קיימת נוסחא כללית לפתרון [[פולינום]] מדרגה > 4.
 
מן העובדה ש-<math>\ A_n</math> פשוטה נובע שזוהי תת החבורה היחידה מאינדקס 2 של החבורה הסימטרית <math>\ S_n</math>; עובדה זו נכונה אפילו כאשר <math>\ n<5</math>. אם <math>\ n\geq 5</math> אז אין לחבורה הסימטרית אף תת חבורה אחרת מאינדקס <math>\ n\geq</math> (זוהי תוצאה של [[העידון של משפט קיילי]]). לעומת זאת, לחבורה <math>\ S_4</math> יש שלוש תת חבורות מאינדקס 3, שכולן איזומורפיות ל[[חבורה דיהדרלית|חבורה הדיהדרלית]] מסדר 8.
920

עריכות