חבורת התמורות הזוגיות – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה |
תיקוני לינקים והרחבה קלה |
||
שורה 1:
ב[[תורת החבורות]], '''חבורת התמורות הזוגיות''' הוא שמה של [[תת חבורה]] מסוימת וחשובה של [[החבורה הסימטרית]]. לכל [[מספר טבעי]] <math>\ n</math>, מחצית מבין <math>\ n!</math> ה[[תמורה (מתמטיקה)|תמורות]] בחבורה הסימטרית <math>\ S_n</math> הן בעלות [[סימן (תורת החבורות)|סימן]] <math>\ +1</math>, ומחצית הן בעלות סימן <math>\ -1</math>. הקבוצה של <math>\ \frac{n!}{2}</math> התמורות בעלות סימן חיובי היא תת חבורה מ[[אינדקס (תורת החבורות)|אינדקס]] 2 של <math>\ S_n</math>, שאותה מקובל לסמן באות <math>\ A_n</math> (Alternating Group). בסימון זה משתמשים גם עבור הטיפוס של החבורה הסימטרית עצמה, בתור [[חבורת קוקסטר]].
כל תמורה
<math>\ \mbox{sgn} (\tau\cdot\sigma)=\mbox{sgn}(\tau)\cdot \mbox{sgn}(\sigma)</math>
), מכפלה של תמורות זוגיות היא זוגית, ולכן אוסף התמורות הזוגויות מהווה חבורה.
לדוגמה, <math> \ A_n</math> כוללת את כל ה[[תמורה (מתמטיקה)#סוגי תמורות|מחזורים]] באורך 3, בעלי הצורה <math>\ (abc)</math>. קבוצת המחזורים באורך 3 [[חבורה (מבנה אלגברי)#יוצרים ויחסים|יוצרת]] את <math>\ A_n</math>. אם <math>\ n\geq 4</math> אפשר ליצור את החבורה באופן דומה, על ידי התמורות מהצורה <math>\ (ab)(cd)</math> כאשר <math>\ a,b,c,d</math> שונים זה מזה.
חשיבותן הרבה של החבורות <math>\ A_n</math> נובעת מכך שהן [[חבורה פשוטה|חבורות פשוטות]] לכל <math>\ n\geq 5</math>. בפרט, החבורה <math>\ A_5</math>, שסדרה 60, היא החבורה הפשוטה הקטנה ביותר. משפחה זו של חבורות פשוטות היא הראשונה שהתגלתה. שאר החבורות הפשוטות הסופיות, פרט ל-26 [[חבורה פשוטה ספורדית|החבורות הספורדיות]], הן חבורות של [[מטריצה|מטריצות]] מעל [[שדה סופי|שדות סופיים]]. ▼
▲חשיבותן הרבה של החבורות <math>\ A_n</math> נובעת מכך שהן [[חבורה פשוטה|חבורות פשוטות]] לכל <math>\ n\geq 5</math>. בפרט, החבורה <math>\ A_5</math>, שסדרה 60, היא החבורה הפשוטה הקטנה ביותר (שאינה [[חבורה ציקלית|ציקלית]]). משפחה זו של חבורות פשוטות היא הראשונה שהתגלתה. שאר החבורות הפשוטות הסופיות, פרט ל-26 [[
מן העובדה ש-<math>\ A_n</math> פשוטה נובע שזוהי תת החבורה היחידה מאינדקס 2 של החבורה הסימטרית <math>\ S_n</math>; עובדה זו נכונה אפילו כאשר <math>\ n<5</math>. אם <math>\ n\geq 5</math> אז אין לחבורה הסימטרית אף תת חבורה אחרת מאינדקס <math>\ n\geq</math> (זוהי תוצאה של [[העידון של משפט קיילי]]). לעומת זאת, לחבורה <math>\ S_4</math> יש שלוש תת חבורות מאינדקס 3, שכולן איזומורפיות ל[[חבורה דיהדרלית|חבורה הדיהדרלית]] מסדר 8.
| |||