משפט האן-בנך – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
AlleborgoBot (שיחה | תרומות) מ רובוט מוסיף: vi:Định lý Hahn-Banach |
מאין תקציר עריכה |
||
שורה 1:
{{פשט מתמטיקה}}
'''משפט האן-בנך''' הוא משפט מרכזי ב[[אנליזה פונקציונלית]] העוסק בהרחבה של [[פונקציונל]] <math>\ f_0</math> מתת-מרחב של [[מרחב בנך]], אל המרחב כולו. המשפט נוסח והוכח על ידי [[סטפן בנך]] ו[[האנס האן]], כל אחד לחוד באופן בלתי תלוי,
== המשפט ==
יהי <math>\,L</math> מרחב בנך מעל
אזי כל [[פונקציונל]] לינארי <math>\ f_0 : L_0 \rightarrow F</math> החסום על-ידי <math>\ \rho</math> (כלומר: <math>\ |f_0(x)|\leq \rho(x) </math> לכל <math>\ x\in L_0</math>) אפשר להרחיב לפונקציונל <math>\ f : L \rightarrow F</math> שגם הוא חסום באותו אופן.
שורה 14:
* '''קיום הרחבה שומרת נורמה:'''
: אם L הוא [[מרחב בנך]] ו M הוא תת-מרחב שלו, ואם f<sub>0</sub> : M → R הוא פונקציונל רציף
* '''משפט ההפרדה בין נקודות''':
: <math>\ \forall x_0 \ne 0 \ : \ \exist f_0 \ne 0 \ \mbox{bounded functional} \ , \ \mbox{such that} \ : \ \ f_0(x_0) = \| f_0 \| \cdot \| x_0 \| \ne 0</math>.
: בפרט, אם נגדיר <math>\ x_0 = x_1 - x_2</math> עבור <math>\ x_1 \ne x_2</math> אזי נקבל שקיים פונקציונל <math>\ f_0 \ne 0</math> כך ש <math>\ f_0(x_1) \ne f_0(x_2)</math>. כלומר: קיים פונקציונל המפריד בין שתי נקודות שונות.
* '''משפט ההפרדה בין תת-מרחב לנקודה''':
: יהי L [[מרחב בנך]] ויהי M הוא תת-מרחב שלו (לא בהכרח [[קבוצה סגורה|סגור]]). תהי <math>\ z \notin \overline{M}</math> נקודה שאיננה ב[[סגור (טופולוגיה)|סגור]] של M, אזי קיים פונקציונל רציף (חסום) f : M → R כך ש:
:# <math>\ \forall x \in M \ : \ f(x)=0 </math> ,
:# <math>\ f(z)=1</math>
| |||