משפטי סילו – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ בוט משנה: it:Teoremi di Sylow |
מ בוט החלפות: על ידי; |
||
שורה 33:
'''הוכחת המשפט הראשון'''. נסמן ב- X את אוסף כל תת-ה'''קבוצות''' בגודל <math>\ p^n</math> של G. מכיוון ש-
<math>\ |X|={|G| \choose p^n}={p^nm \choose p^n}</math>, קל לחשב ש- p אינו מחלק את העוצמה של X. החבורה פועלת על X על
מכיוון שהגודל של X אינו מתחלק ב- p, מוכרח להיות מסלול תחת הפעולה של G, שגודלו אינו מתחלק ב- p. תהי <math>\ B\in X</math> נקודה באותו מסלול; נבחר <math>\ b\in B</math>, אז גם <math>\ b^{-1}B</math> היא נקודה באותו המסלול, והיא מכילה את איבר היחידה של G. לכן אפשר להניח ש- <math>\ 1\in B</math>. מצד אחד, המייצב של B מוכל ב- B (שהרי <math>\ x\in xB = B</math>), ולכן גודלו <math>\ p^n</math> לכל היותר. מצד שני, האינדקס של המייצב מחלק את <math>\ p^nm</math>, אבל הוא שווה לגודל המסלול, ולכן זר ל- p ומחלק את <math>\ m</math>. יחד נובע מכאן שגודל המייצב שווה בדיוק ל- <math>\ p^n</math>, ואם כך הוא שווה ל- B; אבל אז B היא חבורת p-סילו.
| |||