שדה ארכימדי – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ רובוט מוסיף: pt:Corpo Arquimediano |
מ בוט החלפות: על ידי; |
||
שורה 25:
'''משפט''': אם <math>\ F\subseteq K</math> שניהם שדות סדורים ארכימדיים, ו- <math>\ F</math> שלם, אז <math>\ K=F</math>.
'''הוכחה''': נניח ש- <math>\ x\in K</math>. מן הארכימדיות של <math>\ K</math> נובע שהקבוצה <math>\ A=\{a \in F : a < x\}</math> חסומה על
לכל שדה ארכימדי <math>F</math> אפשר לבנות את השדה <math>\ \hat{F}</math> של [[חתכי דדקינד]] ב-<math>F</math>. שדה זה הוא שלם (במובן של חסמים, ולכן ארכימדי), ו- F צפוף בו. על-פי ההגדרה, שדה המספרים הממשיים הוא ההשלמה <math>\ \mathbb{R}=\hat{\mathbb{Q}}</math> של [[שדה המספרים הרציונליים|שדה הרציונליים]]. מכיוון ש- <math>F</math> מכיל עותק של <math>\ \mathbb{Q}</math>, יש [[שיכון (מתמטיקה)|שיכון]] <math>\ \mathbb{R}=\bar{\mathbb Q}\hookrightarrow \bar{F}</math>. אבל כאן שני השדות שלמים; מן המשפט נובע ש- <math>\ F \subseteq \bar{F}\cong \mathbb{R}</math> - כלומר, כל שדה ארכימדי הוא [[תת שדה]] של [[שדה המספרים הממשיים|השדה הממשי]], ושדה זה הוא שדה חתכי דדקינד של כל אחד מהם.
|