נוסחת קרמר – הבדלי גרסאות

ב[[אלגברה לינארית]], '''נוסחת קרמר''' (או '''כלל קרמר''') היא נוסחה מפורשת לפתרון [[משוואה לינארית#מערכת משוואות לינאריות|מערכת משוואות לינאריות]] בעזרת [[דטרמיננטה|דטרמיננטות]]. היא קרויה על שם המתמטיקאי ה[[שוויצרישווייצרי]] [[גבריאל קרמר]].

<math>A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 8 \end{pmatrix}</math>, והוקטורוהווקטור <math> b=\begin{pmatrix} 2 \\ 2\\ 4 \end{pmatrix} </math>.

נניח כי נתונה המערכת <math>\ Ax=b </math>. נסמן את עמודות המטריצה ב <math>\ \alpha_1, \dots, \alpha_n</math>. הטענה כי הוקטורהווקטור <math> \ (x_1,\dots,x_n)</math> פותר את המערכת היא בעצם הטענה כי

כאשר בשורה התחתונה במטריצה כל האברים הם אפס, פרט לעמודה ה-<math>\ k</math> ולעמודה ה-<math>\ n+1</math>. מכיוון שהוקטורשהווקטור <math>\ x</math> פותר את המערכת, קל לראות על ידי העברת אגפים כי הווקטור המורחב <math> \ (x_1, x_2, \dots , x_n, -1) </math> פותר את המערכת המורחבת, שהיא כעת מערכת הומוגנית. מאלגברה לינארית אנו יודעים כי למערכת משוואות הומוגנית יש פתרון לא טריוויאלי [[אם ורק אם]] הדטרמיננטה מתאפסת. הווקטור המורחב אינו וקטור האפס והוא פותר את המערכת, ולכן הדטרמיננטה של המטריצה המורחבת חייבת להתאפס. [[דטרמיננטה#פיתוח לפי מינורים|נפתח את הדטרמיננטה לפי השורה התחתונה]], ונשים לב כי המינור ה-<math>\ k</math> הוא פשוט הדטרמיננטה של המטריצה <math>\ A_k </math> מוכפל בגורם <math>\ (-1) ^{n-k}</math>, מכיוון שכדי להביא את העמודה האחרונה למקום ה-<math>\ k</math> יש לבצע על העמודות [[תמורה]] שהיא מחזור באורך <math>\ n-k+1</math>. בנוסף, מהנוסחה לפיתוח המינור יש להכפיל בגורם <math> \ (-1)^{n+1+k}</math> ולכן מתקבל: