שדה פיצול – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מאין תקציר עריכה |
|||
שורה 9:
נתון פולינום f, המוגדר מעל שדה בסיס F. שדה הרחבה <math>\ L/F</math> '''מפצל''' את הפולינום, אם אפשר לפרק את f לגורמים ליניאריים מעל L, כאמור במבוא. שדה מפצל מינימלי נקרא "שדה פיצול". כל שדה מפצל מכיל שדה פיצול: אם <math>\ f(x)=(x-a_1)\cdots (x-a_n)</math> הוא פיצול של הפולינום מעל L, אז גם <math>\ K=F[a_1,\dots,a_n]</math> מפצל, והוא מינימלי מכיוון שהפיצול לגורמים הוא יחיד.
כדי להוכיח שקיימים שדות מפצלים, אפשר להרחיב את F צעד-אחר-צעד, כשבכל פעם [[סיפוח שורש|מספחים לשדה שורש]] של גורם אי-פריק של הפולינום (ומפרקים את הפולינום, מחדש, מעל השדה שהתקבל). באופן הזה אפשר להוכיח שלכל פולינום קיים שדה פיצול; שהממד של שדה הפיצול אינו עולה על <math>\ n!</math>, כאשר <math>\ n = \deg(f)</math> היא [[מעלה של פולינום|מעלת הפולינום]]; ששדה הפיצול K הוא יחיד [[עד כדי (מתמטיקה)|עד כדי]] איזומורפיזם מעל F; ושממדו שווה ל- <math>\ |\operatorname{Gal}(K/F)|</math>, כאשר <math>\ \operatorname{Gal}(K/F)</math> היא [[חבורת גלואה]] של ההרחבה, כאשר הפולינום ספרבילי.
כל שדה פיצול הוא [[הרחבת גלואה]] של שדה הבסיס.
| |||