אידיאל ראשוני – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה |
אין תקציר עריכה |
||
שורה 25:
'''שימושים:'''
אידאלים ראשוניים הופיעו לראשונה בתורת המספרים האלגברית. ידוע היה שחוק קיום ויחידות פירוק למספרים ראשוניים ([[המשפט היסודי של האריתמטיקה]]) הקיים בחוג המספרים (הרציונליים) השלמים, אינו קיים בהכרח בחוגי המספרים השלמים של שדות מספרים אלגבריים. [[דדקינד]] מצא שלמרות זאת, ניתן להוכיח בחוגים אלה קיום ויחידות פירוק של מספרים (או גם אידאלים)
מכיוון שונה, אידאלים ראשוניים בחוגי פולינומים מעל שדה סגור אלגברית k מתאימים חד חד ערכית ליריעות אפיניות אי-פריקות. ליריעות אלו אפשר להתייחס כ"נקודות רב-ממדיות" של k<sup>n</sup> (אשר אינן בהכרח ממימד אפס). אידאלים מקסימליים מתאימים על פי [[משפט האפסים של הילברט]] לנקודות הרגילות, ממימד אפס. דבר זה מאפשר הפשטה: עבור '''כל''' חוג (חילופי) נגדיר את קבוצת ה"נקודות" של האובייקט הגאומטרי התואם לו כקבוצת האידאלים הראשוניים בחוג. על קבוצה זו מגדירים [[טופולוגיה]] מתאימה, ו[[אלומה (מתמטיקה)|אלומה]] של חוגים, כך שאנו מקבלים מבנה של [[מרחב מחויג]] מקומית. מרחב זה נקרא [[ספקטרום של חוג|הספקטרום של החוג]], או הסכמה האפינית התואמת לחוג, וזהו שלב ראשון בהגדרת [[סכמה|סכמות]]: מושא המחקר הבסיסי של [[גאומטריה אלגברית|הגאומטריה האלגברית]] המודרנית.
| |||