אלגברת האוקטוניונים של קיילי – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ משתמש:כרוז/ארגז חול/אוקטוניונים הועבר לאוקטוניונים: השלמת ערך |
מ בוט החלפות: אזור; מצוין; על ידי; לעתים; |
||
שורה 5:
== היסטוריה ==
את האוקטוניונים גילו בשנת 1843 על ידי ג'ון ט. גרייבס, חבר של [[ויליאם המילטון]], מי שקרא להם '''אוקטבות'''.
ארתור קיילי גילה, גם, באופן בלתי תלוי, את האוקטוניונים, ופרסם אותם לראשונה בשנת 1845. האוקטוניונים מוזכרים
== הגדרה ==
שורה 12:
<br />עבור מקדמים ממשיים.
חיבור אוקטוניונים מתבצע על ידי חיבור כל המקדמים המקבילים, כמו אצל המספרים המרוכבים, או הקווטרניונים. כפל אוקטוניונים מתבצע על ידי טבלת הכפל של אוקטוניוני היחידה, שמוצגת להלן: (הגורמים הראשונים הם אלו
<table class="wikitable" style="align: center; text-align: right;">
שורה 114:
* 1 הוא היחידה הכפלית,
* <math>e^2=-1</math> לכל נקודה בדיאגרמה
מגדירים לגמרי את מבנה הכפל של האוקטוניונים. כל קו יוצר תת-אלגברה של <math>\mathbb{O}</math>
=== הצמדה, נורמה והיפוך ===
שורה 123:
<br />ההצמדה מקיימת <math>\bar{\left(xy\right)}=\bar{y}\bar{x}</math>.
החלק הממשי של <math>x</math> מחושב
הנורמה של האוקטוניון <math>x</math> מוגדרת
<math>\left\| x \right\|=\sqrt{\bar{x}x}</math>
<br />השורש הריבועי מוגדר היטב, בגלל שהמכפלה <math>\bar{x}x</math> היא תמיד מספר ממשי אי שלילי:<br />
שורה 131:
<br />נורמה זאת שווה לנורמה האוקלידית במרחב <math>\mathbb{R}^{8}</math>.
קיום של נורמה על <math>\mathbb{O}</math> מרמזת על קיום של הופכי לכל איבר שאינו אפס. ההופכי של <math>x\ne 0</math> נתון
<math>x^{-1}=\frac{{\bar{x}}}{\left\| x \right\|^{2}}</math>
<br />מתקיים ש-<math>xx^{-1}=x^{-1}x=1</math>.
| |||