משפט קיילי-המילטון – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
פירוש אנדומורפיזם שכן אין כזה ערך |
אין תקציר עריכה |
||
שורה 3:
בשפת המטריצות:
אם A [[מטריצה ריבועית]] מסדר n, ואם
:<math>p(X)= \det(XI-A) = X^n + p_{n-1}X^{n-1} + \ldots + p_1 X + p_0</math>
שורה 13:
משפט זה, תקף לא רק מעל ל[[שדה (מתמטיקה)|שדות]], כי אם מעל לכל [[חוג (מבנה אלגברי)|חוג]] [[חילופיות|קומוטטיבי]].
תוצאה חשובה של משפט זה, היא כי [[פולינום מינימלי|הפולינום המינימלי]] של מטריצה מחלק את [[פולינום אופייני|הפולינום האופייני]]. זאת ועוד, לפולינום המינימלי ולפולינום האופייני אותם [[פולינום#שורש של פולינום|שורשים]].
==מוטיבציה==
בעת העבודה עם מטריצות, ברצוננו להציגן בצורה הפשוטה ביותר, היינו להציגן ב[[מטריצה אלכסונית|צורה אלכסונית]].
בתהליך ה[[מטריצה לכסינה|לכסון]] עלינו למצוא את [[ערך עצמי|הערכים העצמיים]] של המטריצה.
כידוע, מציאת הערכים העצמיים של מטריצה שקולה למציאת השורשים של פולינומה האופייני של המטריצה.
אם-כן, בעיית הלכסון שקולה לבעיית מציאת השורשים של הפולינום האופייני. כאמור, לפי משפט זה, לפולינום המינמלי אותם שורשים כמו לפולינום האופייני.
הווה אומר, כמסקנה ממשפט זה ומתוצאותיו, '''בעיית הלכסון, שקולה למציאת שורשי הפולינום המינמלי''' ומכאן חשיבות המשפט.
==הוכחה==
{{בעבודה}}
==דוגמא==
{{קצרמר|מתמטיקה}}
| |||