יעקוביאן – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
ביטול גרסה 5624901 של 84.109.157.130 (שיחה) |
אין תקציר עריכה |
||
שורה 24:
: <math>\ \left( \frac{\partial f}{\partial x} \right)_y = \frac{\partial (f,y)}{\partial (x,y)}</math>
== שימושים ==
אחד מהשימושים העיקריים של היעקוביאן הוא מציאת ערך האינטגראל של פונקציה מורכבת.
לדוגמא: <math>\ \int_0^3 \int_0^4 \int_{x=y/2}^{x=y/2+1} \frac{2x-y}{2}+\frac{z}{3}\, dx dy dz</math> הוא שווה לנפח הפונקציה באינטגרל בגבולות הנתונים. הפונקציה מסובכת מדי מכדי לבצע אינגקציה באופן ישיר. לכן נסמן: <math>\ w = \frac{z}{3}</math>, <math>\ v = \frac{y}{2}</math> <math>\ u = \frac{2x-y}{2}</math>
הפונקציה החדשה שלנו היא <math>\ u+w</math> ונחשב את הגבולות שלה על ידי הצבת הגבולות הקודמים בסימונים החדשים:<math>\ z = 3w</math> ,<math>\ y = 2v</math> ,<math>\ x = u+v</math>
לדוגמא במקום הגבול <math>\ x = \frac{y}{2}</math> נציב <math>\ u+v = \frac{2v}{2} = v</math> ומכאן שנחליף את הגבול <math>\ x = \frac{y}{2}</math> בגבול <math>\ u = 0</math>
נחשב את היעקוביאן של הפונקציה:
:<math>J(u,v,w) =\begin{vmatrix}
\dfrac{\partial x}{\partial u} & \dfrac{\partial x}{\partial v} & \dfrac{\partial x}{\partial w} \\[3pt]
\dfrac{\partial y}{\partial u} & \dfrac{\partial y}{\partial v} & \dfrac{\partial y}{\partial w} \\[3pt]
\dfrac{\partial z}{\partial u} & \dfrac{\partial z}{\partial v} & \dfrac{\partial z}{\partial w} \\
\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 0\\0 & 2 & 0\\0 & 0 & 3 \end{vmatrix}\,
= 6 </math>
נחשב את הנפח באמצעות היעקוביאן
<math>\ \int_0^3 \int_0^4 \int_{x=y/2}^{x=y/2+1} \frac{2x-y}{2}+\frac{z}{3}\, dx dy dz = \int_0^1 \int_0^2 \int_0^1 (u+w) \cdot |J(u,v,w)| du dv dw = \int_0^1 \int_0^2 \int_0^1 (6u+6w) du dv dw = 12</math>
'''לסיכום''': כדי למצוא אינטגראל של פונקציה מסובכת, ניתן לחלק אותה למספר פונקציות קטנות. את הפונקציה הישנה יש להביע באמצעות הפונקציות החדשות ולהכפיל את הפונקציה החדשה שהתקבלה ביעקוביאן שלה וכמובן יש לעדכן את הגבולות של הפונקציה החדשה לפי הפונקצות הקטנות שהגדרנו.
[[קטגוריה:אנליזה וקטורית]]
[[קטגוריה:גאומטריה דיפרנציאלית]]
| |||