סדר (תורת החבורות) – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ בוט מוסיף: nl:Orde (groepentheorie) |
מ בוט החלפות: תת-; |
||
שורה 9:
בהינתן חבורה <math>\,\! G</math> ואיבר כלשהו <math>\,\! g\isin G</math>, הסדר של <math>\,\! g</math> שמסומן <math>\,\! o(g)</math> הוא החזקה הטבעית הקטנה ביותר <math>\,\! n</math> של <math>\,\! g</math> שעבורה <math>\,\! g^n=e</math>, האיבר האדיש בחבורה. אם לא קיים מספר שכזה, נאמר שהעוצמה של <math>\,\! g</math> היא אינסופית, ונסמן <math>\,\! o(g)=\infty</math>.
מסקנה אחת ממשפט לגראנז' מקשרת בין מושג הסדר של החבורה לסדר של איבר בחבורה - הסדר של איבר בחבורה מחלק תמיד את סדר החבורה, אם סדר החבורה סופי. נראה זאת: תהא <math>\,\! G</math> חבורה סופית ויהא <math>\,\! g\isin G</math> מסדר סופי. אז נביט בתת
מכאן נובעת מסקנה מיידית חשובה נוספת: בהינתן חבורה סופית <math>\,\! G</math>, כל איבר בחבורה בחזקת סדר החבורה הוא האיבר האדיש. נראה זאת: יהא <math>\,\! g\isin G</math> כלשהו, אז <math>\,\! o(g)||G|</math> ולכן <math>\,\! |G|=k\cdot o(g)</math>. על כן:
| |||