שורש יחידה – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה |
אין תקציר עריכה |
||
שורה 39:
כאשר [[הרחבת שדות|מרחיבים]] את <math>\ \mathbb{Q}</math> בעזרת שורש היחידה הפרימיטיבי <math>\ \rho_n</math>, מתקבל השדה הציקלוטומי מסדר n, <math>\ F_n</math>. השדה ה-n ציקלוטומי מכיל את כל שורשי היחידה מסדר n, והוא [[שדה פיצול|שדה הפיצול]] של <math>\ \Phi_n(x)</math> מעל <math>\ \mathbb{Q}</math>. הרחבת השדות <math>\ F_n/\mathbb{Q}</math> היא מדרגה <math>\ \phi (n)</math>.
== תכונת המחזוריות ==
אם Z הוא שורש פרימטיבי מסדר n אז סדרת החזקות:
··· , ''z''<sup>−1</sup>, ''z''<sup>0</sup>, ''z''<sup>1</sup>, ···
, (because ''z''<sup> ''j''+''n''</sup> = ''z''<sup> ''j''</sup>·''z''<sup>''n''</sup> = ''z''<sup> ''j''</sup>·1 = ''z''<sup> ''j''</sup> for all values of ''j'',) and the ''n'' sequences of powers
:··· , ''z''<sup> ''k''·(−1)</sup>, ''z''<sup> ''k''·0</sup>, ''z''<sup>''k''·1</sup>, ··· (for ''k'' = 1···''n''), היא '''n-מחזורית'''. סדרת n השורשים הללו יש גם את התכונה של [[אי תלות לינארית]]. זה אומר שכל סדרה n-מחזורית של מספרים מרוכבים: ··· , ''x''<sub>−1</sub> , ''x''<sub>0</sub> , ''x''<sub>1</sub> , ··· ניתנת להצגה בצירוף ליניארי של חזקות של שורשי היחידה מסדר n : ''x''<sub> ''j''</sub> = Σ<sub>''k''</sub> ''X''<sub>''k''</sub>·''z''<sup>''k''·''j''</sup> = ''X''<sub>1</sub>·''z''<sup>1·''j''</sup> + ··· + ''X''<sub>''n''</sub>·''z''<sup>''n''·''j''</sup> .
זו צורה של [[אנליזת פורייה]]. אם j הוא משתנה הזמן, אז k היא ה[[תדירות]] ו-''X''<sub>''k''</sub> היא [[משרעת]] מרוכבת.
כשבוחרים את השורש ה-n של היחידה ''z'' = e<sup>i·2·''π''/''n''</sup> = cos(2·''π''/''n'') + i·sin(2·''π''/''n'') מאפשר ל-''x''<sub> ''j''</sub> להיות מוצג כצירוף לינארי של cos ו-sin :
''x''<sub> ''j''</sub> = Σ<sub>''k''</sub> ''A''<sub>''k''</sub>·cos(2·''π''·''j''·''k''/''n'') + Σ<sub>''k''</sub> ''B''<sub>''k''</sub>·sin(2·''π''·''j''·''k''/''n'').
זהו [[טרנספורם פורייה דיסקרטי]].
[[קטגוריה:אלגברה]]
| |||