שורש יחידה – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה |
|||
שורה 1:
ב[[מתמטיקה|במתמטיקה]], '''שורשי יחידה מסדר n''', או מספרי [[דה-מואבר]], הם כל [[מספרים מרוכבים|המספרים המרוכבים]] שתוצאתם 1 כאשר מעלים אותם בחזקת n. הם ממוקמים ב[[מעגל היחידה]] של [[המישור המרוכב]], ובמישור הם מהווים את הקודקודים של [[מצולע משוכלל]] בעל n צלעות כאשר אחד הקודקודים שלו נמצא על המספר 1.
באופן כללי, שורש יחידה הוא [[שורש (מתמטיקה)|שורש]], מכל סדר, של איבר היחידה של [[מבנה אלגברי]]; היינו, זהו איבר של מבנה אלגברי (כמעט תמיד מדובר ב[[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]]) שיש לו [[חזקה (מתמטיקה)]] השווה ל-1. לשורשי יחידה יש תפקיד חשוב בתורת השדות. תכונות רבות של שדות, יחד עם המבנים הנסמכים עליהם ([[הצגה לינארית|הצגות של חבורות]], [[אלגברה פשוטה|אלגברות פשוטות]], ועוד) נכונות רק כאשר מניחים את קיומם של שורשי יחידה בשדה הבסיס.
האיבר <math>\ \rho</math> הוא '''שורש יחידה מסדר n''', אם <math>\ \rho^n=1</math>; זהו '''שורש יחידה פרימיטיבי''' מסדר n, אם n הוא המספר הקטן ביותר שיש לו תכונה זו. מספר שורשי היחידה מסדר n, בכל שדה, הוא לכל היותר n.
שורה 50:
כשבוחרים את השורש ה-n של היחידה ''z'' = e<sup>i·2·''π''/''n''</sup> = cos(2·''π''/''n'') + i·sin(2·''π''/''n'') מאפשר ל-''x''<sub> ''j''</sub> להיות מוצג כצירוף לינארי של cos ו-sin :
''x''<sub> ''j''</sub> = Σ<sub>''k''</sub> ''A''<sub>''k''</sub>·cos(2·''π''·''j''·''k''/''n'') + Σ<sub>''k''</sub> ''B''<sub>''k''</sub>·sin(2·''π''·''j''·''k''/''n'').
זוהי [[התמרת פורייה דיסקרטית]].
== סכימה ==
את סכום n שורשי היחידה ניתן לחשב לפי הנוסחה ל[טור גאומטרי]] (הסכימה הזו היא מקרה פרטי של [[סכום גאוסיאני]]). עבור n>1:
<math>\sum_{k=0}^{n-1} z^k = \frac{z^n - 1}{z - 1} = 0 .</math>
כאשר Z הוא שורש פרימטיבי מסדר n של היחידה. עבור n=1 לסכום יש רק איבר אחד בלבד: Z=1.
== אורתוגונליות ==
מנוסחת הסכום עולה מערכת יחסים [[אורתוגונליות|אורתוגנליים]]: עבור...,j=1,2 ו-...,j'=1,2 מתקיים:
<math>\sum_{k=1}^{n} \overline{z^{j\cdot k}} \cdot z^{j'\cdot k} = n \cdot\delta_{j,j'}</math>
כאשר <math>\delta</math> היא [[הדלתא של קרונקר]] -Z הוא כל שורש פרימיטיבי מסדר n של היחידה.
| |||