חוג (מבנה אלגברי) – הבדלי גרסאות

אין תקציר עריכה
מ (בוט החלפות: תת-;)
* אוסף המספרים השלמים <math>\mathbb{Z}</math> הוא חוג חילופי. זהו [[תחום שלמות]] [[חוג אוקלידי|אוקלידי]].
* אוסף כל ה[[מטריצה|מטריצות]] מסדר <math>\ n\times n</math> מעל [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] <math>\mathbb{F}</math>, שאותו מסמנים ב- <math>M_n(\mathbb{F})</math> הוא חוג לא קומוטטיבי. זוהי דוגמה חשובה ל[[חוג פשוט]] [[חוג ארטיני|ארטיני]].
* באופן כללי יותר, יש התאמה חח"ע ועל בין האידיאלים של חוג <math>\ R </math> והאידיאלים של חוג המטריצות <math>\ M_n(R) </math>. לכן, כאשר <math>\ R </math> [[חוג עם חילוק]], לחוג <math>\ M_n(R) </math> אין אידיאלים לא טריוויאלים, והוא חוג נותרי וארטיני ימני ושמאלי.
* אוסף כל ה[[פולינום|פולינומים]] עם מקדמים משדה F או, המסומן <math>\ F[x]</math> הוא חוג קומטטיבי עם יחידה.
* באופן יותר כללי, יהי ''R'' חוג עם יחידה ויהי <math>\,R[x]</math> אוסף הפולינומים במשתנה ''x'' עם מקדמים מ''R''. תחת הפעולות של כפל וחיבור פולינומים זהו חוג עם יחידה. חוג זה הוא קומוטטיבי אם ורק אם ''R'' קומוטטיבי. כמו כן הוא מכיל את ''R'' כתת-חוג. (ראו הגדרה בהמשך).
168

עריכות