שדה סופי – הבדלי גרסאות

נשים לב ש- <math>\ 4=2^2</math>, ו- 2 הוא מספר ראשוני, ולכן <math>\mathbb{F}_4</math> הוא [[הרחבת שדות|הרחבה של השדה]] <math>\mathbb{F}_2= \mathbb{Z}_2</math>, ומעלת ההרחבה היא 2. באופן כללי, ניתן ליצור הרחבה ממעלה n על ידי הוספת שורש של [[פולינום]] [[פולינום אי פריק|אי פריק]] ממעלה n לשדה המקורי, ולכן הבעיה של יצירת שדה בן ארבעה איברים היא הבעיה של מציאת פולינום ריבועי אי פריק מעל <math>\mathbb{Z}_2</math>. קל לראות שהפולינום הריבועי האי פריק היחיד בחוג הפולינומים <math>\mathbb{Z}_2 [x]</math> הוא <math>\ x^2 + x + 1</math> - זהו פולינום אי פריק כיוון שהוא פולינום ריבועי בלי שורש בשדה, מה שאפשר לוודא על ידי בדיקת כל<!-- שתי --> האפשרויות. נוסיף שורש של הפולינום לשדה, ונסמן את השורש ב- c. קל לראות שמתקבל השדה <math>\mathbb{F}_4 = \left\{ 0 , 1 , c , c + 1 \right\}</math> כאשר פעולות החיבור והכפל בו נקבעיםנקבעות לפי השיווינות <math>\ x+x=0</math> לכל x ו- <math>\ c^2 + c + 1 = 0</math>. מכאן מתקבל לדוגמה השוויון <math>\ c ^ 2 = c ^{-1} = c +1</math>, ואת הביטוי <math>\frac{c^3+c}{c+1}</math> אפשר לפשט לביטוי 1.