משפט וילסון – הבדלי גרסאות

ולכן, על-ידי [[היפוך ושלילה]] נקבל כי אם מספר <math>\ m</math> מחלק את <math>\ 1 +!(m-1)</math> אז m אינו פריק ועל כן ראשוני.

 

ע"מ להוכיח טענה זו נסתמך על מספר משפטים בסיסיים מ[[חשבון מודולרי]].

<math>\ p</math> ראשוני, לכן לכל מספר <math>a \neq 0</math> קיים [[הופכי כפלי מודולרי|הופכי]] יחיד <math>\ b</math> מודולו <math>\ p</math> כך ש <math>\ a \cdot b \equiv 1\mod{p}</math> (ההפכי הנ"ל על-פי [[משפט אוילר]] הוא <math>\ a^{p-2}</math>). נתבונן במשוואה <math>\ a \equiv a^{-1}\mod{p}</math> נפשט ונקבל <math>\ a^2 \equiv 1\mod{p}</math> ולכן <math>\ a^2-1 \equiv 0\mod{p}</math> ואז <math>\ a \equiv 1\mod{p}</math> או <math>\ a \equiv -1 \equiv p-1 \mod{p}</math> לכן במכפלה של <math>\ 1 \cdot 2 \cdot 3... \cdot (p-2)</math> לכל איבר מופיע גם ההפכי (היחיד) שלו במכפלה. ולכן, בגלל [[קומוטטיביות]] הכפל, <math>\ 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot (p-2) \equiv 1\mod{p}</math> ולכן <math>\ (p-1)! \equiv p-1 \equiv -1 \mod{p}</math> ולכן <math>\ (p-1)! +1 \equiv 0 \mod{p}</math> ולכן <math>\ p</math> מחלק את <math>\ (p-1)! +1</math>.