תוכן שנמחק תוכן שנוסף
החלפת הדף עם 'בוט' |
אין תקציר עריכה |
||
שורה 1:
ב[[תורת המספרים]] ויישומיה ה[[מתמטיקה|מתמטיים]], '''שדה מספרים''' הוא [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]], המהווה [[הרחבת שדות]] מ[[ממד (אלגברה)|ממד]] סופי של [[שדה המספרים הרציונליים]]. כל האברים של שדה מספרים הם [[מספר אלגברי|מספרים אלגבריים]], וגם להיפך: השדה הנוצר על ידי מספר סופי של מספרים אלגבריים הוא שדה מספרים. שדות אלה מהווים אחת משתי המחלקות של [[שדה גלובלי|שדות גלובליים]].
[[תורת המספרים האלגברית]] עוסקת, במידה רבה, בהכללת תכונות של מספרים שלמים למספרים אלגבריים כלליים. מנקודת מבט זו, עניינה של תורת המספרים האלגברית הוא הכללת הידוע על שדה המספרים הרציונליים, לשדות מספרים מסובכים יותר. פעמים רבות מופעים כל שדות המספרים כרוכים יחד, בלי שניתן להבדיל באופן מהותי את המספרים הרציונליים משאר המספרים האלגבריים (לדוגמה, המבנה של [[סריג (תורת החבורות)|סריגים]] אריתמטיים ב[[חבורת לי|חבורות לי]]), ובפעמים אחרות משפטים על מספרים רציונליים נכונים באותה מידה ומאותן סיבות בכל שדה מספרים.
== דוגמאות ==
לאחר [[שדה המספרים הרציונליים]] <math>\ \mathbb{Q}</math> עצמו, שדות המספרים הקטנים ביותר הם השדות הריבועיים <math>\ \mathbb{Q}[\sqrt{d}]</math>, שממדם מעל <math>\ \mathbb{Q}</math> הוא 2. ה[[שדה ציקלוטומי|שדות הציקלוטומיים]], הנוצרים על ידי סיפוח של [[שורש יחידה|שורשי יחידה]] מסדר נתון, מהווים מחלקה חשובה אחרת של דוגמאות.
== חוג השלמים ==
אוסף ה[[שלם אלגברי|שלמים האלגבריים]] בשדה מספרים K מהווה תת-חוג <math>\ {\mathcal O}_K</math>, שיחסו ל-K דומה לזה של [[חוג המספרים השלמים]] <math>\ \mathbb{Z}</math> לשדה המספרים הרציונליים <math>\ \mathbb{Q}</math> (ואמנם <math>\ (\mathcal O)_{\mathbb{Q}} = \mathbb{Z}</math>). חוג השלמים הוא [[חוג דדקינד]], ש[[שדה שברים|שדה השברים]] שלו הוא השדה K. ה[[אידאל ראשוני|אידאלים הראשוניים]] (ה[[טריוויאלי (מתמטיקה)|לא טריוויאליים]]) של חוג השלמים ממלאים את התפקיד של ה[[מספר ראשוני|מספרים הראשוניים]] בין המספרים השלמים.
ה[[שדה מקומי|שדות המקומיים]] המכילים את K מוגדרים בעזרת [[הערכה דיסקרטית|הערכות דיסקרטיות]], הנבנות אחת-לאחת מתוך האידאלים הראשוניים של חוג השלמים.
== ההערכות הארכימדיות ==
לשדה מספרים K יש מספר סופי, <math>\ r_1</math>, של שיכונים ב[[שדה המספרים הממשיים]], ועוד מספר סופי <math>\ 2r_2</math> של שיכונים שאינם ממשיים ב[[שדה המספרים המרוכבים]]. האחרונים מסודרים בזוגות [[הצמוד המרוכב|צמודים]], ומספר השיכונים הכולל מקיים <math>\ r_1+2r_2 = d</math>, כאשר d הוא הממד של K מעל הרציונליים. ביחד, שיכונים אלה מגדירים את <math>\ r_1+r_2</math> הערכים-המוחלטים הארכימדיים של השדה. השיכונים הממשיים מגדירים את <math>\ r_1</math> הדרכים ל[[שדה סדור|סדר]] את השדה.
אם <math>\ \alpha</math> יוצר של השדה מעל <math>\ \mathbb{Q}</math>, אז <math>\ r_1</math> הוא מספר ה[[שורש של פולינום|שורשים]] הממשיים ב[[פולינום מינימלי|פולינום המינימלי]] של <math>\ \alpha</math>, בעוד ש- <math>\ 2r_2</math> הוא מספר השורשים המרוכבים, שאינם ממשיים. בשפה של ה[[מכפלה טנזורית|מכפלה הטנזורית]], השיכונים הארכימדיים מתבטאים בכך ש- <math>\ K \otimes_{\mathbb{Q}}\mathbb{R} \cong \mathbb{R}^{r_1}\times \mathbb{C}^{r_2}</math>.
== הדיסקרימיננטה ==
הדיסקרימיננטה היא כלי מרכזי ב[[תורת המספרים האלגברית]]. בנוסף לדיסקרימיננטה הרגילה של הרחבת שדות, L/K, שהיא איבר מוגדר היטב של חבורת המנה <math>\ K^{\times}/(K^{\times})^2</math>, בהרחבה של שדות מספרים אפשר לבחור בסיס של L/K, שכל איבריו יבואו מחוג השלמים <math>\ {\mathcal O}_L</math> של L (בסיס כזה נקרא '''בסיס שלם'''). לפעמים (למשל, כאשר חוג השלמים <math>\ {\mathcal O}_K</math> של K הוא [[תחום ראשי|ראשי]]), <math>\ {\mathcal O}_L</math> מהווה [[מודול (מבנה אלגברי)|מודול]] [[מודול חופשי|חופשי]], ואז אפשר לבחור בסיס של L/K שיהיה גם בסיס של <math>\ {\mathcal O}_L/{\mathcal O}_K</math>. במקרים אלה, הדיסקרימיננטה היא איבר מוגדר היטב של חוג השלמים, מודולו הריבועים של חבורת האיברים ההפיכים בחוג (שהיא [[חבורה אבלית נוצרת סופית|נוצרת סופית]], על-פי [[משפט היחידות של דיריכלה]], כלומר, קטנה באופן יחסי). בפרט, הדיסקרימיננטה של שדה מעל <math>\ \mathbb{Q}</math> היא מספר שלם מוגדר היטב, משום שהאיברים ההפיכים היחידים ב- <math>\ \mathbb{Z}</math> הם <math>\ \pm 1</math>.
במקרה הכללי <math>\ {\mathcal O}_L</math> אינו בהכרח חופשי, ואז הדיסקרימיננטה של L/K מוגדרת כאידאל הנוצר על ידי כל הדיסקרימיננטות של הבסיסים השלמים.
[[הרמיט]] הוכיח שמספר שדות המספרים בעלי דיסקרימיננטה נתונה (מעל <math>\ \mathbb{Q}</math>) הוא סופי, וקיימות טבלאות מפורטות של שדות מספרים בעלי דיסקרימיננטה קטנה.
אחד השימושים העיקריים של הדיסקרימיננטה היא בהגבלת ההתנהגות של אידאלים ראשוניים תחת הרחבה: ראשוני (של K) הוא [[ראשוני מסועף|מסועף]] בהרחבה L/K, אם ורק אם הוא מחלק את הדיסקרימיננטה. [[הרמן מינקובסקי]] הוכיח כי בכל הרחבה של שדה המספרים הרציונליים יש לפחות ראשוני מסועף אחד.
{{תבנית:מערכות מספרים}}
[[קטגוריה:תורת השדות]]
[[קטגוריה:תורת המספרים]]
[[en:Algebraic number field]]
[[de:Algebraischer Zahlkörper]]
[[el:Σώμα Αριθμών]]
[[fi:Lukukunta]]
[[fr:Corps de nombres]]
[[it:Campo di numeri]]
[[ja:代数体]]
[[ko:대수적 수체]]
[[pl:Ciało liczbowe]]
[[sl:Obseg algebrskih števil]]
[[sv:Algebraisk talkropp]]
[[zh:代数数域]]
| |||