גאומטריה היפרבולית – הבדלי גרסאות

'''גאומטריה היפרבולית''' היא [[גאומטריה לא אוקלידית]] שבה ה[[אקסיומה]] החמישית של [[אוקלידס]], [[אקסיומת המקבילים]], מוחלפת באקסיומה הבאה:

:'''דרך כל [[נקודה (גאומטריה)|נקודה]] שמחוץ ל[[ישר]] עוברים לפחות שני ישרים מקבילים לישר זה'''.

במהלך השנים שאחרי פרסום "[[יסודות (ספר)|יסודות]]" של אוקלידס, הייתה מקובלת התחושה שאקסיומת המקבילים (הקובעת שדרך נקודה שמחוץ לישר עובר קו מקביל אחד ויחיד) אינה 'טבעית' ומובנת מאליה כמו שאר האקסיומות של ה[[גאומטריה]]. תחושה זו הביאה לנסיונות חוזרים ונשנים להוכיח את האקסיומה החמישית כמשפט גאומטרי. כל הנסיונות מסוג זה נכשלו, עד שב[[המאה ה-19|מאה ה-19]], ה[[מתמטיקאי]]ם [[קרל פרידריך גאוס|גאוס]], [[יאנוש בולאי|בולאי]] ו[[ניקולאי איוונוביץ' לובצ'בסקי|לובצ'בסקי]] הגיעו במקביל למסקנה שהאקסיומה החמישית אינה נובעת מן האקסיומות האחרות. הם הבינו שניתן להחליף את האקסיומה המקובלת בזו המצוינת לעיל, ולקבל מבנה גאומטרי עשיר ומעניין, גם אם שונה מהגאומטריה האוקלידית. אחד ההבדלים הבולטים הוא שבגאומטריה היפרבולית, [[משולש|סכום הזוויות במשולש]] יכול להיות גדול מ-180 [[מעלה (זווית)|מעלות]].

 

 

הדרך הטובה ביותר להשתכנע שהתורה החדשה [[עקביות (מתמטיקה)|עקבית]], כלומר, שאין בה סתירות, היא לבנות [[מודל (מתמטיקה)|מודל]] שלה במסגרת תאוריה אחרת, מקובלת יותר. פירושו של דבר הוא שבמסגרת התאוריה הוותיקה, בוחרים קבוצה שתייצג את המישור ההיפרבולי, ומאפיינים את הנקודות ואת הקוים הישרים במישור זה. כל שנדרש מן המודל הוא שהקוים והנקודות שלו יקיימו את האקסיומות של התורה החדשה. אם קיים מודל כזה, אז העקביות של התאוריה החדשה נובעת מזו של התאוריה הישנה.

באופן צפוי (אך אירוני משהו), המודלים המקובלים לגאומטריה ההיפרבולית הם במסגרת הגאומטריה האוקלידית. יש להבין שקיומם של מודלים כאלה מוכיח כי '''אם''' הגאומטריה האוקלידית עקבית, הרי שבהכרח תכונה זו חלה על הגאומטריה ההיפרבולית. זו כשלעצמה הוכחה שאקסיומת המקבילים (האוקלידית) [[כריעות (מתמטיקה)|בלתי תלויה]] באקסיומות הגאומטריות האחרות. (העקביות של הגאומטריה האוקלידית עצמה נשענת על העקביות של [[תורת הקבוצות האקסיומטית|תורת הקבוצות]], דרך המודל הסטנדרטי של [[המרחב האוקלידי]]).

 

 

את המישור ההיפרבולי ניתן לאפיין, כמרחב עם תבנית דיפרנציאלית, כ[[משטח רימן]] [[מרחב מטרי שלם|שלם]] [[תחום פשוט קשר|פשוט קשר]] בעל [[עקמומיות]] <math>\ -1</math> בכל נקודה. מבחינה טופולוגית, הוא מהווה [[מרחב כיסוי אוניברסלי|כיסוי אוניברסלי]] לכל משטח רימן בעל עקמומיות קבועה ושלילית.

 

* [[מרחב היפרבולי]]

 

[[קטגוריה:גאומטריה לא אוקלידית]]

 

[[en:Hyperbolic geometry]]

[[pt:Geometria hiperbólica]]

[[ru:Геометрия Лобачевского]]

[[sl:Hiperbolična geometrija]]

[[tr:Hiperbolik geometri]]