פונקציית צפיפות

בתורת ההסתברות, פונקציית צפיפות ההסתברות של משתנה מקרי היא פונקציה המתארת את צפיפות ההסתברות בכל נקודה במרחב המדגם. ההסתברות שמשתנה מקרי יימצא בקטע מסויים היא האינטגרל של הצפיפות בקטע.

התפלגויות רציפות במשתנה יחיד

פונקציית צפיפות ההסתברות באה לידי ביטוי בעיקר בהתפלגויות רציפות במשתנה יחיד. למשתנה מקרי $\ X$ יש פונקציית צפיפות $\ f(x)$, כאשר $\ f(x)$ פונקצייה אי-שלילית, אינטגרבילית לפי לבג אם מתקיים:

$\operatorname {P} [a<X\leq b]=\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x$

אזי, אם $\ F(x)$ היא פונקציית ההסתברות המצטברת של $\ X$, מתקיים:

$F(x)=\int _{-\infty }^{x}f(u)\,\mathrm {d} u$ וגם $f(x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}F(x)$

באופן אינטואיטיבי, ניתן לחשוב על $\ f(x)dx$ בתור ההסתברות לכך ש $\ X$ ייפול בקטע אינפיניטיסימאלי $\ [x,x+dx]$.

פרטים נוספים

למשל, להתפלגות האחידה בקטע $\ [0,1]$ ישנה פונקציית צפיפות $f(x)dx={\begin{cases}1,&x\in (0,1)\\0,&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}$

להתפלגות הנורמלית יש פונקציית צפיפות:

$f(x)={e^{-{x^{2}/2}} \over {\sqrt {2\pi }}}.$

אם נתון משתנה מקרי $\ X$ בעל פונקציית צפיפות $\ f(x)$, אז ניתן לחשב את התוחלת שלו (אם קיימת) כך:

$\operatorname {E} (X)=\int _{-\infty }^{\infty }x\,f(x)\,dx.$

לא לכל התפלגות יש פונקציית צפיפות: למשל התפלגויות של משתנים מקריים בדידים.

להתפלגות ישנה פונקציית צפיפות אם ורק אם פונקציית ההסתברות המצטברת שלה $\ F(x)$ רציפה בהחלט. במקרה זה $\ F(x)$ גזירה כמעט בכל מקום, הנגזרתה יכולה לשמש כפונקציית צפיפות:

${\frac {d}{dx}}F(x)=f(x).$

שתי פונקציות צפיפות $\ f(x)$ ו- $\ g(x)$ מייצגות את אותה ההתפלגות בדיוק אם הן שונות רק בקבוצת לבג ממידה אפס.

ראו גם

• הסתברות
• משתנה מקרי
• התפלגות
• פונקציית ההסתברות המצטברת