מכניקה של גוף קשיח – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
תיקון מאסיבי של שגיאות וניסוח מחדש |
|||
שורה 1:
[[תמונה:Gyroscope operation.gif|שמאל|ממוזער|200px|[[גירוסקופ]] המאופיין בתנועה סיבובית מורכבת הנחקרת במסגרת מכניקת הגוף הקשיח]]
'''מכניקה של גוף קשיח''' הנה ענף [[פיזיקה|פיזיקלי]]
ענף זה של ה[[מכניקה]] מטפל במספר תופעות הנוגעות לגופים קשיחים ובפרט מאפשר לנתח את תנועתם הסיבובית של גופים קשיחים סביב עצמם. הכלים של מכניקת הגוף הקשיח מאפשרים את ניתוחם ותכנונם של גופים כדוגמת ה[[סביבון]], ה[[נדנדה]] ו[[גירוסקופ]], כמו גם [[גלגל שיניים|גלגלי שיניים]] ורכיבים מכניים נוספים.
==הקשר לדינמיקה של חלקיק יחיד==
==הגדלים היסודיים==▼
[[תמונה:Moment of inertia examples.gif|שמאל|ממוזער|250px|באיור [[מומנט התמד|מומנטי התמד]] של גופים שונים. מומנט ההתמד הוא מדד להתנגדות של גוף קשיח לשינוי ב[[מהירות זוויתית|מהירות הזוויתית]] שלו.]]
ב[[דינמיקה (פיזיקה)|דינמיקה]] הקלאסית של [[חלקיק]] יחיד, (בהקשר זה בכוונה של "גוף נקודתי") על מנת לתאר תנועה של חלקיק יש צורך בשלושה גדלים (לדוגמא: קואורדינטות האורך, הגובה והרוחב שלו), היות והחלקיק יכול לנוע בשלושה כיוונים. במינוח פיזיקלי, לחלקיק יחיד יש 3 [[דרגות חופש]]. ניתן להראות כי לגוף קשיח, על אף שהוא מורכב ממספר גדול מאוד של חלקיקים, יש בדיוק 6 דרגות חופש: תנועה בשלושה כיוונים, וסיבוב סביב שלושה צירים. בדומה לדינמיקה של חלקיק יחיד (ובאופן כללי יותר, בדומה לכל מערכת המילטונית עם מספר סופי של דרגות חופש), הדינמיקה של הגוף הקשיח מתארת את השינוי בזמן של ששת הקואורדינטות של הגוף בכפוף לכוחות הפועלים עליו.
ניתן לפרק את תנועתו של גוף קשיח לתנועה קווית של [[מרכז המסה]] ולתנועה סיבובית של הגוף סביב עצמו. פירוק זה שימושי במיוחד, כיוון שתנועתו של [[מרכז המסה]] מתוארת לחלוטין על ידי הדינמיקה של חלקיק יחיד. באופן ציורי ניתן לומר כי מרכז המסה נע כאילו הוא היה חלקיק יחיד, והוא בכלל "לא יודע" שמחובר אליו גוף גדול. לעומת זאת, תנועתו הסיבובית של הגוף סביב עצמו היא מסובכת יותר ודורשת כלים מתמטיים מורכבים יותר כדי לנתחה.
▲==הגדלים היסודיים==
בניתוח דינמיקה של חלקיק יחיד נהוג להגדיר מספר גדלים: [[מהירות]], [[תנע]], [[אנרגיה]], וכיוב'. ניתתן להגדיר גדלים דומים עבור תנועה של גוף קשיח.
* ה[[תנע]] הקווי של גוף נקודתי מוגדר כמכפלת מהירותו של הגוף ב[[מסה|מסתו]], או בניסוח מתמטי: <math>\vec p=m\vec v</math>.
*[[החוק השני של ניוטון]] קובע כי נגזרתו של התנע הקווי לפי הזמן היא
▲ה[[תנע]] הקווי של גוף נקודתי מוגדר כמכפלת מהירותו של הגוף ב[[מסה|מסתו]], או בניסוח מתמטי: <math>\vec p=m\vec v</math>. גודל זה מהווה, באופן אינטואיטיבי, מדד ליכולתו להתמיד בתנועתו. באופן דומה, מהווה ה[[תנע זוויתי|תנע הזוויתי]] מדד ליכולתו של גוף, בפרט קשיח, להתמיד בתנועתו הסיבובית. עבור תנועה קווית, גודל זה מוגדר כ[[מכפלה וקטורית]] של מיקום הגוף בתנעו הקווי, קרי — בשפה מתמטית:<math>\vec L=\vec r\times\vec p</math>. עבור תנועה של גוף קשיח ניתן להציג גודל זה על ידי מכפלת [[מומנט התמד|מומנט ההתמד]] שלו ב[[מהירות זוויתית|מהירותו הזוויתית]] (ראו הסבר בהמשך).
הכללה ישירה של החוק השני של ניוטון קובעת כי <math> \vec\tau=\frac{d}{dt}\vec L=I\vec\alpha</math>. כלומר, בהעדר מומנטים חיצוניים, התנע הזוויתי במערכת נשמר.
* בדינמיקת החלקיק, מהווה ה[[מסה]] מדד להתנגדותו של גוף לשינוי תנועתו הקווית. הגודל המקביל בדינמיקה של גוף קשיח נקרא [[מומנט התמד]], המבטא מדד להתנגדותו של גוף לשינוי בתנועה הסיבובית שלו. היות וניתן לסובב גוף במספר כיוונים, מומנט ההתמד לא יכול להיות מורכב ממספר אחד בלבד (כמו המסה) אלא צריך להכיל מידע על התנגדות הגוף לסיבוב בכל הכיוונים. בשפה פיזיקלית אומרים כי מומנט ההתמד הוא [[טנזור]] (בניגוד למסה שהיא [[סקלר]]). עם זאת, בבעיות פשוטות שבהן הגוף מסתובב תמיד סביב ציר אחד (כמו במקרה של [[קרוסלה]], לדוגמא) ניתן להחליף את הטנזור המלא של מומנט ההתמד במספר יחיד. קל לייצג את מומנט ההתמד על ידי [[מטריצה]], ובכל פעם ש <math>\ \vec I</math> מופיע באחת המשוואות הרשומות למעלה יש להבין את המשוואה כמכפלה של מטריצה בוקטור (לדוגמא, בנוסחא <math>\ \vec L = I\vec\omega</math> מתקבל כי יש מצבים בהם התנע הזוויתי אינו מקביל למהירות הזוויתית).
▲נגזרתו של התנע הקווי לפי הזמן היא (בהנחה כי מסתו של הגוף קבועה) גודל הכוח אשר שווה, על פי החוק השני של ניוטון, למכפלת מסתו של הגוף בתאוצתו, בשפה מתמטית: <math>\sum \vec F=m \vec a</math>. בפשטנות, גודל זה הוא ה"גורם" את התנועה הקווית. המקביל הסיבובי אליו, ה"גורם" את התנועה הסיבובית של הגוף הקשיח, נקרא [[מומנט כוח]] ומוגדר כמכפלה ווקטורית בין הכוח למיקומו של הגוף. בשפה מתמטית: <math> \vec \tau = \vec{r} \times \vec{F} </math>.
תובא להלן טבלה המדגימה את הגדלים המקבילים המתארים את תנועתו הקווית והסיבובית של הגוף:
שורה 47 ⟵ 49:
|}
==תאור פיזיקלי==▼
[[קובץ:Praezession.png|שמאל|ממוזער|150px|תנועה מורכבת של גוף קווי המורכבת מסיבוב סביב צירו (בירוק), תזוזה של ציר הסיבוב הנקראת "נקיפה" (בכחול) ומסטיות ממנה הנקראות "נוטציות" (באדום)]]
▲<!-- ==תאור פיזיקלי==
ניתן להסיק את רוב העקרונות החשובים של מכניקת הגוף הקשיח על ידי הפעלת [[מודל]] בו מהווה הגוף הקשיח מערכת אשר הנה צבר גדול של חלקיקים אשר להם [[מרכז מסה]] משותף ושמרחקיהם אחד מהשני קבועים. כך, למשל, על ידי הקביעה כי תנע של מערכת הוא סכום התנעים של כל רכיביה, ניתן להגדיר את התנע של גוף קשיח כתנע יחיד אשר לצרכים חישוביים נמצא בנקודת מרכז המסה שלו. עם זאת, כחלק מ[[מכניקת הרצף]], מכניקת הגוף הקשיח איננה עוסקת, לרב, במבנה המולקולרי של החומר, אלא מסתפקת בחלקותו לאלמנטים קטנים בעלי ממדים [[אינפיניטסימל|אינפיניטסימליים]]. כך, למשל, מבוצע חישובו של מומנט התמד על ידי סכימה של אלמנטים רבים, המומרת לכתיב [[אינטגרל|אינטגרלי]]. <ref>בכתיב מתמטי: <math>\ I_{{ab}}=\sum_{{(i)}}m_{{(i)}}(r_{{(i)}}^2 \delta_{{ab}}-x_{{(i),a}}x_{{(i),b}})=\int (r_{{(i)}}^2 \delta_{{ab}}-x_{{(i),a}}x_{{(i),b}}) dm </math>.</ref>
תיאור תנועתו המלאה של גוף קשיח דורש שימוש בשש [[דרגות חופש]], שלוש לתיאור תנועתו הקווית ושלוש נוספות לתיאור תנועתו הסיבובית, כאשר חוקי הבסיס המתארים את התנהגות התנע והכוח נשמרים אף עבור מקביליהם המתארים גוף קשיח. לפיכך, במערכת מתקיים שימור תנע זוויתי, כאשר שקול המומנטים
לעתים, תנועתו של הגוף הקשיח מורכבת גם משינוי בזמן של
-->
== תוצאות חשובות של התורה ==
שורה 59 ⟵ 64:
[[תמונה:Flight dynamics with text heb.PNG|שמאל|ממוזער|250px|צירי התנועה ה"טבעיים" של ה[[מטוס]]]]
מבחינה מתמטית, מקלה צורתו המלוכסנת של הטנזור על כתיבת חלק מן המשוואות. כך, למשל, האנרגיה הקינטית הכוללת במצב זה היא סכום האנרגיות המתקבלות מתנועה סביב כל אחד מהצירים. <ref>בכתיב מתמטי:
<math>K=\frac{{1}}{{2}}
:<math>
\begin{matrix}
שורה 74 ⟵ 80:
</ref>
===משפט שטיינר===
[[משפט שטיינר]] הוא כלי חישובי המאפשר את קביעת מומנט ההתמד של גוף סביב ציר תנועה מסוים, בהינתן מומנט ההתמד של הגוף סביב ציר מקביל, הממוקם במרכז המסה של הגוף. אם <math>\ I_{cm}</math> הוא מומנט ההתמד סביב ציר העובר במרכז המסה, אז <math>\ I_s</math>, מומנט ההתמד סביב ציר אחר המקביל לציר הקודם נתון על ידי הנוסחא <math>\ I_s = I_{cm} + m d^2</math> כאשר m,r הם מסת הגוף והמרחק בין הצירים.
[[תורת היחסות]] שוללת את קיומם של גופים קשיחים, שכן כאשר מתחיל לפעול כוח על גוף לא ייתכן שכל חלקיו יתחילו לנוע באופן מיידי, בגלל המגבלה של העברת האינפורמציה (קרי – תגובת חלקיו הרחוקים ביחס לנקודת הפעלת הכוח) במהירות הנמוכה מ[מהירות האור]]. לכן, אין טעם לדבר על מכניקה יחסותית של גוף קשיח במובן הפשוט. עם זאת, למושגים כמו [[תנע זוויתי]] יש חשיבות רבה בתורת היחסות.
<!-- עם זאת, בתנועות במהירויות הנמוכות משמעותית ממהירות האור, ניתן להזניח אפקטים יחוסתיים בעת דיון בתנועתו של גוף קשיח. -->
▲==גוף קשיח בתורת היחסות==
==ראו גם==
| |||