אינטגרל קווי – הבדלי גרסאות

על ההעקומההעקומה <math>\ C</math> מבוצע ההליך של חלוקה למספר כלשהו של קטעים על ידי בחירה שרירותית של נקודות ומתיחת קווים ישרים ביניהן. הצורה המתקבלת הנה קו שבור המורכב ממיתרים ומקרב את העקום. בכל חלק של הקו השבור נבחרת באופן שרירותי נקודה אשר תסומן <math>\ \vec {\xi_i}</math>. זוהי "נקודה מייצגת". הערך שמקבלת הפונקציה באותה נקודה הנו <math>\ \rho (\vec{\xi_i})</math>. זהו "ערך מייצג" של הפונקציה באותו הקטע. קירוב "סכום הערכים" שמקבלת הפונקציה בכל קטע נתון על ידי המכפלה <math>\ \rho (\vec{\xi_i}) \Delta \ell_i</math> כאשר <math>\ \Delta \ell_i</math> הוא אורך הקטע המקרב את הקשת עליה הוא נשען. סכימת כל המכפלות באותו הקטע, <math> \sum_{i} \rho (\vec{\xi_i}) \Delta \ell_i</math>, נותנת בקירוב את "סכום הערכים" של הפונקציה על העקום המקורי. את החלוקה מעדנים יותר ויותר על ידי בחירת נקודות נוספות ובנייה מחודשת של קטעים על פי כל הנקודות שנבחרות על העקום. ככל שהליך זה נמשך, עולה רמת הדיוק של קירוב הקשת על ידי אוסף מיתרים. עתה, מפעילים גבול במצב שבו אורך כל קטע ישר המקרב את העקום שואף לאפס: <math>\lim_{\max \Delta \ell_i \rightarrow 0} \sum_{i} \rho (\vec{\xi_i}) \Delta \ell_i</math>. זהו סכום רימני אשר מסומן בקיצור <math>\int_{C} \rho (\vec{x}) dl</math> ונקרא "'''אינטגרל קווי מסוג ראשון'''".