משפט ההצגה של ריס – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מאין תקציר עריכה |
אין תקציר עריכה |
||
שורה 29:
* <math>\Phi</math> היא [[פונקציה חד חד ערכית|חד חד ערכית]] ו[[פונקציה על|על]] <math>\mathcal{H}^{*}</math>.
* מתקיים <math>\left\Vert \Phi\left(x\right)\right\Vert =\left\Vert x\right\Vert </math> לכל <math>x\in\mathcal{H}</math>, כאשר <math>\left\Vert \cdot\right\Vert </math> מסמן את הנורמות הסטנדרטיות המושרות על מרחב הילברט ועל המרחב הדואלי שלו (ראו [[נורמה אופרטורית]]).
* <math>\Phi</math> היא אדיטיבית: <math>\Phi( x_1 + x_2 ) = \Phi( x_1 ) + \Phi( x_2 )</math> לכל <math>x_{1},x_{2}\in\mathcal{H}</math>.
שורה 41:
==משפט ההצגה לפונקציונלים לינאריים חיוביים על C<sub>c</sub>(''X'')==
יהי <math>X</math> מרחב טופולוגי. המרחב <math>C_{c}\left(X\right)</math> מורכב מכל הפונקציות <math>f:X\to\mathbb{C}</math> אשר רציפות ובעלות [[תומך קומפקטי]]. ניתן לצייד מרחב זה בפעולות נקודתיות של חיבור וכפל בסקלר וכן ב[[נורמת הסופרמום]] ובכך הוא הופך ל[[מרחב נורמי]]. [[פונקציונל לינארי חיובי]] על מרחב זה הוא העתקה <math>\mathbb{C}</math>-לינארית <math>\Lambda:C_{c}\left(X\right)\to\mathbb{C}</math> אשר בנוסף יש לה את התכונה הבאה: אם <math>f\in C_{c}\left(X\right)</math> היא פונקציה ממשית אי-שלילית, אז גם <math>\Lambda\left(f\right)</math> היא כזו. בהנחה והטופולוגיה על <math>X</math> היא "סבירה" דיו, משפט ההצגה של ריס אומר שכל פונקציונל לינארי חיובי על <math>C_{c}\left(X\right)</math> ניתן להיכתב ביחידות כאופרטור [[אינטגרל|אינטגרציה]] ביחס ל[[מידה (מתמטיקה)|מידה]] "סבירה" מסוימת.
בכדי לתת את הנוסח הפורמלי של המשפט, תחילה נגדיר את המושג הבא. '''[[מידת רדון]]''' על <math>X</math> היא [[מידה|מידה חיובית]] <math>\mu</math> המקיימת את התכונות הבאות:
שורה 72:
==משפט ההצגה לפונקציונלים לינאריים חסומים על C<sub>0</sub>(''X'')==
כמו קודם, נניח כי <math>X</math> הוא מרחב טופולוגי. המשפט הבא, המכונה לעיתים ''משפט ריס-מרקוב'', מראה שניתן להציג כל פונקציונל לינארי רציף על המרחב <math>C_{0}\left(X\right)</math> כאופרטור אינטגרציה ביחס ל[[מידה מרוכבת]] מסוימת. המרחב <math>C_{0}\left(X\right)</math> מורכב מכל הפונקציות <math>f:X\to\mathbb{C}</math> שהן רציפות ו[[מתאפסת באינסוף |מתאפסות באינסוף]], כלומר לכל <math>\varepsilon > 0</math> קיימת תת-קבוצה קומפקטית <math>K \subseteq X</math> כך ש-<math>\left|f\left(x\right)\right|<\varepsilon</math> לכל <math>x\notin K</math>. זהו [[מרחב נורמי]], כאשר פעולות החיבור והכפל בסקלר מוגדרות נקודתית והנורמה היא [[נורמת הסופרמום]]. מובן ש-<math>C_{c}\left(X\right)\subseteq C_{0}\left(X\right)</math>.
מידה מרוכבת <math>\mu</math> על <math>X</math> נקראת רגולרית אם מידת ההשתנות הכוללת שלה, כלומר <math>\left|\mu\right|</math>, היא מידת רדון רגולרית כפי שהמושג הוגדר לעיל עבור מידות חיוביות. מרחב כל המידות המרוכבות הרגולריות על <math>X</math> מסומן <math>M\left(X\right)</math> והוא מהווה מרחב וקטורי תחת הפעולות הסטנדרטיות של חיבור וכפל בסקלר של מידות. בנוסף לכך, ההעתקה <math>\mu\mapsto\left|\mu\right|</math> (כאשר <math>\left|\mu\right|</math> היא [[מידה מרוכבת#מידת ההשתנות הכוללת|מידת ההשתנות הכוללת]]) מגדירה נורמה על <math>M\left(X\right)</math> והופכת אותו למרחב בנך. בהינתן מידה <math>\mu\in M\left(X\right)</math> ניתן להגדיר פונקציונל לינארי רציף על <math>C_{0}\left(X\right)</math> על ידי
<math>\Phi_{\mu}\left(f\right)=\int_{X}fd\mu</math> לכל <math>f\in C_{0} (X)</math>.
משפט ההצגה של ריס אומר שכל פונקציונל לינארי רציף על <math>C_{0}\left(X\right)</math> הוא מצורה זו. נוסחו הפורמלי הוא כדלקמן.
'''משפט''': ההעתקה
<math> \Psi:M\left(X\right)\to C_{0}^{*}\left(X\right), \quad \mu\mapsto\Phi_{\mu} </math>
היא איזומורפיזם של [[מרחב בנך|מרחבי בנך]], כלומר:
* <math>\Psi</math> היא [[פונקציה חד חד ערכית|חד חד ערכית]] ו[[פונקציה על|על]] <math>C_{0}^{*}\left(X\right)</math>.
* <math>\Psi</math> היא לינארית, כלומר <math>\Psi\left(\mu_{1}+c\mu_{2}\right)=\Psi\left(\mu_{1}\right)+c\Psi\left(\mu_{2}\right)</math> לכל <math>\mu_{1},\mu_{2}\in M\left(X\right)</math> ולכל סקלר <math>c \in \mathbb{C}</math>.
* <math>\Psi</math> היא [[איזומטריה]], כלומר <math>\left\Vert \Phi_{\mu}\right\Vert =\left\Vert \mu\right\Vert =\left|\mu\right|\left(X\right)</math>.
ל-<math>\Psi</math> יש גם תכונה שימושית נוספת. הפונקציונל <math>\Psi\left(\mu\right)=\Phi_{\mu}</math> הוא פונקציונל לינארי חיובי אם ורק אם המידה <math>\mu</math> היא מידה חיובית.
==משפט ההצגה לפונקציונלים לינאריים חסומים על L<sup>p</sup>(μ)==
[[קטגוריה:אלגברה לינארית]]
| |||