משפט ההצגה של ריס – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה |
ברמה הקונספטואלית הערך גמור לדעתי, אם כי אני מניח שלא יזיק לו ביקור מועדת קישוט. |
||
שורה 1:
מספר משפטים חשובים ב[[אלגברה לינארית]] וב[[אנליזה פונקציונלית]] ידועים בתור '''משפט ההצגה של ריס'''.
שורה 15 ⟵ 13:
משפט זה מספק תיאור מלא של [[המרחב הדואלי]] של [[מרחב הילברט]]: אם השדה שמעליו עובדים הוא [[שדה המספרים הממשיים]], שני מרחבים אלו הם [[איזומורפיזם (מתמטיקה)|איזומורפיים]] (כ[[מרחב נורמי|מרחבים נורמיים]]) ואם השדה הוא [[שדה המספרים המרוכבים]], שני המרחבים הם אנטי-איזומורפיים. נוסף לכך, ה(אנטי-)איזומורפיזם המתואר במשפט הוא טבעי ביותר ונוח לשימושים תיאורטיים.
יהי <math>\mathcal{H}</math> מרחב הילברט עם [[מכפלה פנימית]] <math>\left\langle \cdot,\cdot\right\rangle </math> ונסמן ב-<math>\mathcal{H}^{*}</math> את המרחב הדואלי שלו, כלומר את מרחב כל [[פונקציונל| הפונקציונלים הלינאריים הרציפים]] מ-<math>\mathcal{H}</math> לשדה הבסיס <math>\mathbb{R}</math> או <math>\mathbb{C}</math>. בהינתן <math>x\in\mathcal{H}</math> ההעתקה המוגדרת על ידי
<math>\phi_{x}\left(y\right)=\left\langle y,x\right\rangle </math> לכל <math>y\in\mathcal{H}</math>
שורה 23 ⟵ 21:
'''משפט''': ההעתקה
<math> \Phi: \mathcal{H} \rightarrow \mathcal{H}^{*}, \quad \Phi(x) = \phi_x </math>
היא (אנטי-) איזומורפיזם [[איזומטריה|איזומטרי]], כלומר:
* <math>\Phi</math> היא [[פונקציה חד חד ערכית|חד חד ערכית]] ו[[פונקציה על|על]]
* מתקיים <math>\left\Vert \Phi\left(x\right)\right\Vert =\left\Vert x\right\Vert </math> לכל <math>x\in\mathcal{H}</math>, כאשר <math>\left\Vert \cdot\right\Vert </math> מסמן את הנורמות הסטנדרטיות המושרות על מרחב הילברט ועל המרחב הדואלי שלו (ראו [[נורמה אופרטורית]]).
שורה 77 ⟵ 75:
מידה מרוכבת <math>\mu</math> על <math>X</math> נקראת רגולרית אם מידת ההשתנות הכוללת שלה, כלומר <math>\left|\mu\right|</math>, היא מידת רדון רגולרית כפי שהמושג הוגדר לעיל עבור מידות חיוביות. מרחב כל המידות המרוכבות הרגולריות על <math>X</math> מסומן <math>M\left(X\right)</math> והוא מהווה מרחב וקטורי תחת הפעולות הסטנדרטיות של חיבור וכפל בסקלר של מידות. בנוסף לכך, ההעתקה <math>\mu\mapsto\left|\mu\right|</math> (כאשר <math>\left|\mu\right|</math> היא [[מידה מרוכבת#מידת ההשתנות הכוללת|מידת ההשתנות הכוללת]]) מגדירה נורמה על <math>M\left(X\right)</math> והופכת אותו למרחב בנך. בהינתן מידה <math>\mu\in M\left(X\right)</math> ניתן להגדיר פונקציונל לינארי רציף על <math>C_{0}\left(X\right)</math> על ידי
:<math>\Phi_{\mu}\left(f\right)=\int_{X}fd\mu</math> לכל <math>f\in C_{0} (X)</math>.
משפט ההצגה של ריס אומר שכל פונקציונל לינארי רציף על <math>C_{0}\left(X\right)</math> הוא מצורה זו. נוסחו הפורמלי הוא כדלקמן.
'''משפט''': יהי <math>X</math> [[מרחב האוסדורף]] [[מרחב קומפקטי|קומפקטי מקומית]]. אז ההעתקה
:<math> \Psi:M\left(X\right)\to C_{0}^{*}\left(X\right), \quad \mu\mapsto\Phi_{\mu} </math>
היא איזומורפיזם של [[מרחב בנך|מרחבי בנך]], כלומר:
* <math>\Psi</math> היא
* <math>\Psi</math> היא לינארית, כלומר <math>\Psi\left(\mu_{1}+c\mu_{2}\right)=\Psi\left(\mu_{1}\right)+c\Psi\left(\mu_{2}\right)</math> לכל <math>\mu_{1},\mu_{2}\in M\left(X\right)</math> ולכל סקלר <math>c \in \mathbb{C}</math>.
שורה 96 ⟵ 94:
==משפט ההצגה לפונקציונלים לינאריים חסומים על L<sup>p</sup>(μ)==
יהי <math>\left(X,\mathcal{M},\mu\right)</math> מרחב מידה ויהי <math>L^{p}\left(\mu\right)</math> מרחב כל הפונקציות המדידות <math>f:X\to\mathbb{C}</math> שנורמת-p שלהן היא סופית: <math>\left\Vert f\right\Vert _{p}=\left(\int_{X}\left|f\right|^{p}d\mu\right)^{1/p}<\infty</math> (ראו [[מרחב Lp]]). מגדירים גם את <math>L^{\infty}\left(\mu\right)</math> בתור מרחב כל הפונקציות המדידות <math>f:X\to\mathbb{C}</math> עבורן <math>\left\Vert f\right\Vert _{\infty}<\infty</math> (כאשר <math>\left\Vert f\right\Vert _{\infty}</math> הוא המספר הקטן ביותר <math>C\in\left[0,\infty\right]</math> שעבורו <math>\left|f\left(x\right)\right|\le C</math> ל-<math>\mu</math>-[[כמעט כל]] <math>x \in X</math>).
ידוע כי עבור כל <math>1\le p \le\infty</math> המרחב <math>L^{p}\left(\mu\right)</math> הוא מרחב בנך ביחס לנורמה <math>\left\Vert f\right\Vert _{p}</math> ושבמקרה <math>p=2</math> (ורק בו) נורמה זו מושרית ממכפלה פנימית, אשר ניתנת על ידי <math>\left\langle f,g\right\rangle =\int_{X}f\bar{g}d\mu</math>. לכן <math>L^{2}\left(\mu\right)</math> הוא מרחב הילברט ומשפט ההצגה של ריס למרחב הדואלי למרחב הילברט גורר שכל פונקציונל לינארי רציף על מרחב זה הוא מהצורה <math>f \mapsto \int_{X}{fg}d\mu</math> עבור <math>g\in L^{2}\left(\mu\right)</math> כלשהי. נשאלת השאלה אם ניתן לתת איפיון דומה לפונקציונלים הלינאריים הרציפים על <math>L^{p}\left(\mu\right)</math> עבור <math>p</math> כללי. יהי <math>q \ge 1</math> האקספוננט הצמוד ל-<math>p</math>, כלומר המספר הממשי המקיים את השוויון <math>\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1</math> (במקרה <math>p=1</math> מסכימים ש-<math>q = \infty</math>). תהי <math>g\in L^{q}\left(\mu\right)</math> ונגדיר את ההעתקה הבאה:
:<math>\Phi_{g}\left(f\right)=\int_{X}fgd\mu</math> לכל <math>f\in L^{p}\left(\mu\right)</math>.
מ[[אי-שוויון הלדר]] נובע שהאינטגרנד <math>fg</math> שייך ל-<math>L^{1}\left(\mu\right)</math> ולכן העתקה זו היא מוגדרת היטב. יתרה מזאת, קל לבדוק שהיא מגדירה פונקציונל לינארי רציף <math>\Phi_{g}:L^{p}\left(\mu\right)\to\mathbb{C}</math>. אם מרחב המידה <math>\left(X,\mathcal{M},\mu\right)</math> הינו "סביר" במובן מסוים ו-<math>p\ne\infty</math>, משפט ההצגה של ריס אומר שכל פונקציונל לינארי רציף על <math>L^{p}\left(\mu\right)</math> הוא מצורה זו.
'''משפט''': יהי <math>1\le p<\infty</math> ונניח ש-<math>\left(X,\mathcal{M},\mu\right)</math> הוא מרחב מידה [[מידה (מתמטיקה)#מידה סיגמא-סופית|סיגמא-סופי]]. אז ההעתקה
:<math> \Psi: L^{q}\left(\mu \right) \to \left(L^{p}\left(\mu\right)\right)^{*}, \quad g\mapsto\Phi_{g} </math>
היא איזומורפיזם של [[מרחב בנך|מרחבי בנך]], כלומר:
* <math>\Psi</math> היא חד חד ערכית ועל.
* <math>\Psi</math> היא לינארית, כלומר <math>\Psi\left(g_{1}+cg_{2}\right)=\Psi\left(g_{1}\right)+c\Psi\left(g_{2}\right)</math> לכל <math>g_{1},g_{2}\in L^{q}\left(\mu\right)</math> ולכל סקלר <math>c \in \mathbb{C}</math>.
* <math>\Psi</math> היא [[איזומטריה]], כלומר <math>\left\Vert \Phi_{g}\right\Vert =\left\Vert g\right\Vert _{q}</math>.
בעקבות משפט זה, נהוג לומר פשוט ש-<math>L^{q}\left(\mu\right)</math> הוא המרחב הדואלי ל-<math>L^{p}\left(\mu\right)</math> (תחת הנחות המשפט, כמובן).
'''הערות''':
* עבור <math>1<p<\infty</math> ההנחה שהמרחב <math>\left(X,\mathcal{M},\mu\right)</math> הוא סיגמא-סופי היא מיותרת.
* עבור <math>p = \infty</math> המשפט אינו נכון. במקרה זה ההעתקה לעיל מהווה [[שיכון (מתמטיקה)|שיכון]] איזומטרי בלבד, כלומר <math>L^{1}\left(\mu\right)\hookrightarrow\left(L^{\infty}\left(\mu\right)\right)^{*}</math>, ובדרך כלל המרחב <math>\left(L^{\infty}\left(\mu\right)\right)^{*}</math> הוא הרבה יותר גדול.
| |||