פונקציה יוצרת מומנטים – הבדלי גרסאות

הפונקציה יוצרת המומנטים של משתנה X היא פונקציה של משתנה ממשי <math>\ t</math> המוגדרת כ[[תוחלת]] <math>\ M_X(t)=E(e^{tX})</math>, כאשר זו קיימת. באופן אנלוגי מוגדרת ה[[פונקציה אופיינית (הסתברות)|פונקציה האופיינית]], כתוחלת של <math>\ E(e^{itX})</math>.

אם הפונקציה יוצרת המומנטים גזירה n פעמים בקטע הכולל את הנקודה <math>\ t=0</math>, אז ניתן לקרוא את המומנט ה-n-י של המשתנה עלהוא ידיהנגזרת גזירה חוזרתה-n-ית של הפונקציה, על-פיבנקודה זו, הנוסחהכלומר <math>\ E(X^n) = M_X^{(n)}(0)</math>. לדוגמה, <math>\ M_X(0)=1</math>, <math>\ M_X'(0)=E(X)</math> ו- <math>\ M_X''(0)=E(X^2)</math>. אם הפונקציה גזירה אינסוף פעמים בסביבה של 0, אפשר לפתח את הפונקציה יוצרת המומנטים ל[[טור טיילור]]: <math>\ M_X(t) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{E(X^n)}{n!}t^n</math>.

כאשר למשתנה יש התפלגות המוגדרת על ידי [[פונקציית צפיפות]], <math>\ M_X(-t)</math> היא [[התמרת לפלס]] דו-צדדית של פונקציית הצפיפות.

בתנאים מסוימים אפשר לשחזר את ההתפלגות כולה מן הפונקציה היוצרת;יוצרת המומנטים, ולכן גם מתוך המקדמים בפיתוח טיילור שלה, שהם כאמור המומנטים (מחולקים ב-<math>\ n!</math>).

הפונקציה יוצרת המומנטים של משתנה מקרי [[התפלגות נורמלית|נורמלי סטנדרטי]] Z היא <math>\ E_ZM_Z(t)=e^{\frac{t^2}{/2}}</math>.

למשתנה מקרי X בעל [[התפלגות אקספוננציאלית]] שהתוחלת שלה <math>\ \theta</math> יש פונקציה יוצרת מומנטים המוגדרת כאשרעבור <math>\ t<\frac{1}{\theta}</math>, לפישהיא <math>\ M_X(t)=\frac{1}{1-\theta t}</math>. הנגזרת ה-n-ית היא <math>\ M_X^{(n)}(t)=\frac{n!\cdot \theta^n}{(1-\theta t)^{n+1}}</math>, והצבת <math>\ t=0</math> נותנת <math>\ E(X^n)=M_X^{(n)}(0)=n! \theta^n</math>.