משפט ההצגה של ריס – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מאין תקציר עריכה |
|||
שורה 29:
* מתקיים <math>\left\Vert \Phi\left(x\right)\right\Vert =\left\Vert x\right\Vert </math> לכל <math>x\in\mathcal{H}</math>, כאשר <math>\left\Vert \cdot\right\Vert </math> מסמן את הנורמות הסטנדרטיות המושרות על מרחב הילברט ועל המרחב הדואלי שלו (ראו [[נורמה אופרטורית]]).
* <math>\ \Phi</math> היא אדיטיבית: <math>\ \Phi( x_1 + x_2 ) = \Phi( x_1 ) + \Phi( x_2 )</math> לכל <math>x_{1},x_{2}\in\mathcal{H}</math>.
* אם שדה הבסיס הוא <math>\mathbb{R}</math>, אז <math>\Phi(\lambda x) = \lambda \Phi(x)</math> לכל מספר ממשי <math>\lambda</math>.
* אם שדה הבסיס הוא <math>\mathbb{C}</math>, אז <math>\ \Phi(\lambda x) = \bar{\lambda} \Phi(x)</math> לכל מספר מרוכב <math>\ \lambda</math>.
את ההעתקה ההפוכה ל-<math>\ \Phi</math> ניתן לתאר באופן הבא. יהי <math>\ \varphi</math> פונקציונל לינארי רציף על <math>\mathcal{H}</math> ונפריד למקרים. אם <math>\Phi</math> הוא פונקציונל האפס, ניתן פשוט לבחור <math>x=0</math>. אחרת, משפט בסיסי בתורה של מרחבי הילברט אומר שקיים וקטור <math>v\ne 0</math> אשר שייך ל[[משלים אורתוגונלי|משלים האורתוגונלי]] של <math>\ker\varphi</math>. כעת אם נגדיר <math>x=\frac{\overline{\varphi\left(z\right)}}{\left\Vert z\right\Vert ^{2}}z</math> אז יתקיים <math>\Phi\left(x\right)=\varphi</math>, כפי שרצינו.
==משפט ההצגה לפונקציונלים לינאריים חיוביים על C<sub>c</sub>(''X'')==
| |||