משפט לגראנז' (תורת החבורות) – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ בוט מוסיף: pt:Teorema de Lagrange (teoria dos grupos) |
|||
שורה 16:
כעת נוכיח את התכונות הנדרשות מיחס שקילות:
# רפלקסיביות: <math>\ aa^{-1}=e\isin H</math> כי <math>\ H</math> תת-חבורה ולכן מכילה את
# סימטריות: נניח כי <math>\ aRb</math>, כלומר <math>\ ab^{-1}=h\isin H</math>, אז <math>\ \left(ab^{-1}\right)^{-1}=h^{-1}\isin H</math>, כלומר <math>\ ba^{-1}=h^{-1}\isin H</math> ולכן <math>\ bRa</math>.
#טרנזיטיביות: נניח כי <math>\ aRb,bRc</math>, כלומר <math>\ ab^{-1}=h_1,bc^{-1}=h_2</math>. מסגירות <math>\ H</math> נקבל:
שורה 38:
כעת, לכל איבר ב<math>\ G</math> ידוע שהוא שייך למחלקה כלשהי של <math>\ H</math>. לכן מספר האיברים ב<math>\ G</math> הוא סכום מספר האיברים בכל המחלקות של <math>\ H</math>. יש מספר סופי של מחלקות, כי יש מספר סופי של איברים ב<math>\ G</math>. יהי <math>\ k</math> מספר המחלקות, אז <math>\ k\cdot |H|=|G|</math>, כלומר סדר <math>\ H</math> מחלק את סדר <math>\ G</math> ובכתיב מתמטי <math>\ |H| | |G|</math>,
[[קטגוריה:אלגברה]]
| |||