השערה (מתמטיקה) – הבדלי גרסאות

ב[[מתמטיקה]], '''השערה''' היא טענה שהועלתה על-ידי [[מתמטיקאי]] אך עדיין לא ניתנה לה [[הוכחה]]. <br>טענות לא מעטות דרשו מאות רבות של שנים עד להוכחתן או להפרכתן, כלומר במהלך כל השנים הללו היתה כל אחת מהן בגדר השערה בלבד.<br> דוגמאות לכך הן [[המשפט האחרון של פרמה]] שזכה להוכחה כשלוש מאות וחמישים שנה לאחר שהועלה, ו[[שלוש הבעיות של ימי קדם]], שהופרכו כאלפיים שנה לאחר שהוצגו.<br> בעיות פתוחות (כאלה שטרם זכו להוכחה או ל[[הפרכה]]) רבות ממשיכות ללוות את המתמטיקה, ובין המפורסמות שבהן ניתן למנות את [[השערת גולדבך]] ו[[השערת רימן]].

האם כל השערה ניתנת להוכחה או להפרכה? ברור שה[[אקסיומה|אקסיומות]] אינן ניתנות להוכחה ואף לא להפרכה. אם נוכיח שהשערה מסוימת אינה ניתנת להוכחה ואף לא להפרכה, כפי שהוכח לגבי [[השערת הרצף]], נוכל לצרף את ההשערה הזו (או את שלילתה) לאוסף האקסיומות שלנו. <br>האם בדרך זו נוכל להרחיב את אוסף האקסיומות, כך שנגיע למצב שבו כל טענה תהיה ניתנת להוכחה או להפרכה? תשובה לשאלה זו ניתנה בשנת 1931 ב[[משפט אי השלמות של גדל]]: תמיד יהיו השערות שאינן ניתנות להוכחה ואף לא להפרכה.