מרחב פשוט קשר – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה |
הגדרה מתמטית + דוגמאות ותמונות |
||
שורה 1:
ב[[טופולוגיה]], '''מרחב פשוט קשר''' הוא [[מרחב טופולוגי]], שבו אפשר לכווץ כל [[מסילה (מתמטיקה)|לולאה סגורה]] לנקודה אחת, באופן רציף. זוהי הדרך הפורמלית לנסח את הדרישה שבמרחב לא יהיו חורים שאפשר לאתר אותם באמצעים חד-ממדיים. מרחבים כאלה הם מן העצמים היסודיים ב[[טופולוגיה אלגברית]].
[[תמונה:P1S2all.jpg|מרכז|ממוזער|350px|[[ספירה (גאומטריה)|הספירה]] היא דוגמא למרחב פשוט קשר מכיוון שניתן לכווץ כל לולאה לנקודה באופן רציף]]
== הגדרה ==
'''מרחב פשוט קשר''' הוא מרחב אשר מקיים את הטענות הבאות:
* כל לולאה במרחב [[הומוטופיה (טופולוגיה)|הומוטופית]] לאפס. ניתן גם להגיד [[חבורה יסודית|שהחבורה היסודית]] של המרחב שווה לקבוע.
* כל העתקה [[רציפות (טופולוגיה)|רציפה]] ''f'' : S<sup>1</sup> → ''X'' (כאשר S<sup>1</sup> היא [[ספירה (גאומטריה)|הספירה החד מימדית]]) הומוטופית לקבוע.
* לכל העתקה רציפה ''f'' : S<sup>1</sup> → ''X'' קיימת הרחבה רציפה ''F'' : D<sup>2</sup> → ''X'' (כאשר D<sup>2</sup> הוא [[דיסק היחידה]])
* כל שתי [[מסילה (מתמטיקה)|מסילות]] u,v: [0,1] → X אשר מתחילות ומסתיימות באותה נקודה ((''u''(0) = ''v''(0 וגם ''(u''(1) = ''v''(1) הן הומוטופיות.
ארבעה טענות אלו שקולות וכל טענה גוררת את הטענות האחרות.
== דוגמאות ==
[[תמונה:Torus_cycles.png|שמאל|ממוזער|200px|[[טורוס|הטורוס]] אינו פשוט קשר. ניתן לראות שבלתי אפשרי לכווץ באופן רציף את הלולאות בתמונה לנקודה]]
ה[[מישור אוקלידי|מישור האוקלידי]] הוא פשוט קשר, משום שכל לולאה אפשר לכווץ בהדרגה לנקודה אחת. לעומת זאת, אם מוציאים מן המישור נקודה אחת, הוא מפסיק להיות פשוט קשר - את המסילה המקיפה את הנקודה החסרה אי אפשר לכווץ. כזה הוא המצב כל עוד הקבוצה שמוציאים היא [[קבוצה חסומה|חסומה]]. אם מוציאים ממישור [[קרן (גאומטריה)|קרן]], התוצאה היא שוב מרחב פשוט קשר, מכיוון שאי אפשר להקיף את הקרן החסרה בלולאה שתאבחן את חסרונה. אם מוציאים מהמישור [[ישר (גאומטריה)|ישר]] שלם, הוא מתפרק לשני [[קשירות מסילתית|מרכיבי קשירות]], שכל אחד מהם פשוט קשר.
ה[[כדור (טופולוגיה)|כדור]] התלת-ממדי הוא פשוט קשר. אם עושים בו גומה, הוא נותר פשוט קשר, אלא אם הגומה הופכת לחור מפולש העובר בכדור מצד לצד. במקרה כזה אפשר, כמקודם, לעטוף את החור בלולאה שלא ניתן לכווץ לנקודה. אם מוציאים מכדור את הליבה שלו, שצורתה גם היא כדורית, מתקבל מרחב פשוט קשר - את החור שנוצר אי אפשר לאתר באמצעים חד-ממדיים (כאן נדרשת חבורת ה[[הומולוגיה (טופולוגיה אלגברית)|הומולוגיה]] השנייה, <math>\ H^2</math>).
[[טורוס|הטורוס]], [[טבעת מביוס]] [[בקבוק קליין|ובקבוק קליין]] הם דוגמאות למרחבים שאינם פשוטי קשר.
== תכונות ==
| |||