פולינום מינימלי – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
←הגדרה כללית: אנטרים |
←הפולינום הגנרי: אנטרים |
||
שורה 25:
== הפולינום הגנרי ==
הפולינום המינימלי מאפשר להגדיר אינווראנטים חשובים של אלגברות מממד סופי. תהי A [[אלגברה (מבנה אלגברי)|אלגברה]] (או לכל הפחות [[אלגברה לא אסוציאטיבית]] שהיא [[אלגברה בעלת חזקות אסוציאטיביות|בעלת חזקה אסוציאטיבית בהחלט]]), מממד סופי מעל שדה F. נבחר [[בסיס (אלגברה לינארית)|בסיס]] <math>\ b_1,\dots,b_n</math>, ונתבונן באיבר <math>\ X = x_1 b_1 + \cdots +x_n b_n</math> של האלגברה <math>\ A \otimes_F F(x_1,\dots,x_n)</math> המתקבלת מ[[הרחבת סקלרים]] מ- F לשדה הפונקציות <math>\ F(x_1,\dots,x_n)</math>. במקרה כזה, קיים פולינום מינימלי מתוקן P המאפס את X, והוא נקרא '''הפולינום המינימלי הגנרי''' של A.
אם כותבים <math>\ P(\lambda) = \lambda^m - s_1(x_1,\dots,x_n) \lambda^{m-1} + \cdots + (-1)^m s_m(x_1,\dots,x_n)</math>, אז המקדמים <math>\ s_i(x_1,\dots,x_n)</math> הם פולינומים הומוגניים במשתנים <math>\ x_1,\dots,x_n</math> על ידי הצבה אפשר לחשב מ-P פולינום המאפס כל איבר נתון של האלגברה (אם כי זה אינו בהכרח פולינום מינימלי). המקדם <math>\ s_1</math>, המקיים את תנאי האדיטיביות <math>\ s_1(a+b)=s_1(a)+s_1(b)</math>, נקרא '''העקבה הגנרית''' (ראו [[עקבה (אלגברה)|עקבה]]), והמקדם האחרון <math>\ s_m</math> הוא '''הנורמה הגנרית''' (ראו [[נורמה (אלגברה)|נורמה]]). המעלה m של P נקראת גם '''הדרגה''' של A. לדוגמה, הדרגה של אלגברת המטריצות <math>\ M_m(F)</math> היא m; וזו גם הדרגה של כל [[אלגברה פשוטה]] מממד <math>\ m^2</math> מעל למרכז שלה. במקרה הראשון, העקבה הגנרית מתלכדת עם העקבה הרגילה, והנורמה הגנרית מתלכדת עם ה[[דטרמיננטה]]. בין השימושים הרבים של הפונקציות הללו אפשר למנות את העובדה הבאה: אם <math>\ s_1([a,b])=0</math> ו- <math>\ s_1((a,b,c))=0</math> (כאשר <math>\ [\cdot,\cdot]</math> ו- <math>\ (\cdot,\cdot,\cdot)</math> הם ה[[קומוטטור]] וה[[אסוציאטור]], בהתאמה), ו- <math>\ s_1</math> אינה מנוונת (במובן הבא: אם <math>\ s_1(ab)=0</math> לכל b, אז <math>\ a=0</math>), אז A [[אלגברה ספרבילית|ספרבילית]]. (שתי ההנחות הראשונות מתקיימות ממילא לכל אלגברה אסוציאטיבית).
| |||