משפט קירכהוף – הבדלי גרסאות

בתחום ה[[מתמטיקה|מתמטי]] של [[תורת הגרפים]] '''משפט קירכהוף''' או '''משפט מטריצת העץ של קירכהוף''', הנקרא על שם הפיזיקאי הגרמני [[גוסטב קירכהוף]], באמאפיין לתתאת תשובה לבעיית מנייתמספר [[עץ פורש|העצים הפורשים]] [[גרף (תורת הגרפים)|בגרף]]. המשפט הינו [[הכללה (מתמטיקה)|הניסוח הכללי]] ל[[נוסחת קיילי]] אשר מאפשרת לגלותמגדירה את מספר העצים הפורשים ב[[גרף שלם]].

יהא גרף מקושר ''G'' בעל ''n'' [[קודקוד]]ים, נניחויהיו <math>\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_{n-1}</math> [[ערך עצמי|ערכים עצמיים]] שונים מ[[0 (מספר)|אפס]] של ה[[מטריצת קירכהוףלאפלסיאנית]] של ''<math>G''</math>, כלומר המטריצה המתבלת מההפרש בין מטריצת הדרגות ל[[מטריצת שכנות| מטריצת השכנויות]] של <math>G</math>. אזי מספר העצים הפורשים של ''של <math>G''</math> הוא:

קל להבחין בעובדה שנוסחתנוסחת קייליי נגזרת ממשפט קירכהוף כ[[מקרה פרטי]]: כל [[וקטור (אלגברה)|וקטור]] בעל הערך 1 באיבר אחד, 1- באיבר אחר ו-0 בכל מקום אחר ב[[וקטור עצמי|ווקטור העצמי]] של מטריצת קירכהוף הכוללת לגרף, כאשר הערך העצמי השייך למטריצה הוא ''n''. הווקטורים הללו פורשים מרחב בעל [[ממד (אלגברה לינארית)|ממד]] מסדר ''n-1'' ולכן אין שום ערכים עצמיים אחרים השונים מ-0.