שדה המספרים הממשיים – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ בוט מוסיף: gan:實數 |
אין תקציר עריכה |
||
שורה 4:
==תכונות==
השדה הממשי הוא בראש וראשונה [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] [[שדה סדור|סדור]]. בנוסף, הוא [[שדה סדור שלם]]: לכל קבוצה לא [[הקבוצה הריקה|ריקה]] ו[[חסם מלעיל|חסומה מלעיל]] יש [[חסם עליון]] (תכונה זו מכונה לעתים "אקסיומת החסם העליון"); שדה המספרים הממשיים הוא השדה הסדור היחיד המקיים את אקסיומת החסם העליון. מאקסיומת החסם העליון נובע שהשדה הוא [[מרחב מטרי שלם]] ביחס ל[[מטריקה]] המוגדרת על ידי ה[[ערך מוחלט|ערך המוחלט]], וגם שהוא [[שדה ארכימדי|ארכימדי]]
[[גאורג קנטור]] הוכיח באמצעות שיטת [[האלכסון של קנטור]] כי [[עוצמה|עוצמת]] קבוצת המספרים הממשיים גדולה מעוצמת [[מספר טבעי|קבוצת המספרים הטבעיים]] (למעשה, היא שווה לעוצמת [[קבוצת החזקה]] של המספרים הטבעיים - <math> 2^{\aleph_0}</math>). נהוג לסמן את עוצמת המספרים הממשיים בסימונים <math>\ \aleph, c</math> ולכנותה '''עוצמת הרצף'''.
| |||