הלמה של צורן – הבדלי גרסאות

נוכיח לדוגמה, תוך שימוש בלמה של צורן כי בכל חוג קיים [[אידאל מקסימלי]]. יהי ''R'' חוג השונה מחוג ה''0'', ותהי ''P'' קבוצת כל האידאלים ב''R'' השונים מהחוג כולו, סדורה על ידי יחס ההכלה. ''P'' בבירור אינה ריקה,, שכן הקבוצהאידאל הריקההאפס שייכתשייך ל''P''. נניח כי נתונה שרשרת עולה <math>\,a_1 \subseteq a_2 \subseteq \dots \subseteq a_n \subseteq \dots</math> של אידאלים ב''R''. יהי <math>\,a=\bigcup_{i=1}^{\infty}a_i</math>. בבירור מתקיים <math>\,a_i\subseteq a</math> לכל ''i''. כאיחוד עולה של אידאלים, ''a'' הוא אידאל ב''R''. יתר על כן, מכיוון שלכל ''i'' מתקיים ש <math>\,1 \notin a_i</math>, הרי ש <math>\,1\notin a</math>, ולכן <math>\,a\ne R</math>, ולכן <math>\,a\in P</math>. קיבלנו ש''a'' הוא חסם מלעיל לשרשרת הנתונה, ולכן תנאיי הלמה של צורן מתקיימים. לפיכך יש ל''P'' לפחות איבר מקסימלי אחד ''m'', ולכן ''m'' הוא אידאל מקסימלי ב''R''.