פונקטור – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
דוגמה |
The Hatter (שיחה | תרומות) הגדרת העתקה טבעית |
||
שורה 5:
==הגדרה פורמלית==
יהיו ''C'' ו- ''D'' שתי [[קטגוריה|קטגוריות]]. '''פונקטור''' קווריאנטי ''F'' מ ''C'' ל-''D'' הוא המידע הבא:
* לכל אובייקט <math>X \in C</math> קיים אובייקט <math>FX \in D</math>.
* לכל מורפיזם <math>f:X \rightarrow Y</math> ב-''C'' יש מורפיזם <math>F(f) : F(X) \rightarrow F(Y)</math> ב-''D''.
שורה 13:
במילים אחרות, הפונקטור משמר את מורפיזם הזהות ואת פעולת הרכבת המורפיזמים.
העתקה בין שתי קטגוריות <math>G:\mathcal{C}\rightarrow \mathcal{D}</math> המקיימת את כל התכונות של פונקטור, פרט לכך שבמקום התכונה האחרונה מתקיים
* לכל זוג מורפיזמים <math>f:X \rightarrow Y</math> ו-<math>g:Y \rightarrow Z</math> מתקיים <math>G(g \circ f) = G(f) \circ G(g)</math>
נקראת פונקטור קונטרה וריאנטי.
==דוגמאות==
* ההעתקה <math>F:Grp\rightarrow Set</math> מקטגורית ה[[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורות]] לקטגורית ה[[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצות]], המעתיקה חבורה לקבוצת האיברים שלה, ומעתיקה הומומורפיזם בין חבורות למורפיזם בין קבוצות המגדיר אותו, הוא פנקטור קווריאנטי. פונקטורים מהצורה הזאת, אשר שוכחים חלק מהמבנה של האובייקטים והמורפיזמים בקטגוריה, נקראים ''פונקטורים שוכחים''.
* ההעתקה המתאימה לכל [[מרחב וקטורי]] את [[מרחב דואלי|המרחב הדואלי]] לו, ולכל העתקה לינארית את ההעתקה הצמודה לה היא פונקטור מהקטגוריה של מרחבים וקטורים לעצמה.▼
▲* ההעתקה המתאימה לכל [[מרחב וקטורי]] את [[מרחב דואלי|המרחב הדואלי]] לו, ולכל העתקה לינארית את ההעתקה הצמודה לה היא פונקטור קונטרה וריאנטי מהקטגוריה של מרחבים וקטורים לעצמה.
==העתקה טבעית==
עבור שני פונקטורים <math>F,G:\mathcal{C}\rightarrow\mathcal{D}</math>, העתקה טבעית <math>\eta:F\rightarrow G</math> מתאימה לכל אובייקט <math>X\in \mathcal{C}</math> העתקה <math>\eta_X :F(X)\rightarrow G(X)</math> כך שלכל מורפיזם <math>f:X\rightarrow Y</math> ב <math>\mathcal{C}</math> מתקיים ש <math>\eta_Y \circ F(f) = G(f) \circ \eta_X</math>.
התנאי הזה שקול לכך שהדיאגרמה הבאה קומוטטיבית
[[קובץ:Natural transformation.svg|175px]]
אם לכל ''X'' ההעתקה <math>\eta_X</math> היא [[איזומורפיזם]] ב ''D'', אז ההעתקה נקראת איזומורפיזם טבעי והפנקטורים ''F'',''G'' נקראים איזומורפים.
| |||