תורה (לוגיקה מתמטית) – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
←דוגמאות: הלשמת משפט |
|||
שורה 20:
דוגמה מפורסמת לתורה לוגית היא [[מערכת פאנו|אריתמטיקת פאנו]], שהיא תורה המתוכננת לדיון ב[[מספר טבעי|מספרים טבעיים]]. בשפה שלה יש רק קבוע אחד (0), פונקציה אונארית אחת (פונקציית העוקב), יחס השוויון, וכמה סכימות פשוטות לגזירה של אקסיומות. במאמץ-מה אפשר להגדיר בשפה הזו חיבור וכפל, ואז ניתן לנסח בה חלק משמעותי של הטענות ב[[אריתמטיקה]]. תורה כזו, או חזקה ממנה, נקראת '''תורה אריתמטית'''.
דוגמה חשובה אחרת, אולי החשובה ביותר, היא זו של [[תורת הקבוצות האקסיומטית]]: בשפה יש רק יחס בינארי אחד (<math>\ \in</math>) ששמו 'שייכות', ומספר לא גדול של סכימות לגזירת אקסיומות. מערכת האקסיומות היסודית היא [[אקסיומות צרמלו-פרנקל|מערכת צרמלו-פרנקל]], ואותה מסמנים ב- ZF. כאשר מוסיפים לה את [[אקסיומת הבחירה]]
* לכל x ולכל פונקציה f מ- x, קיימת פונקציה מ- x שעבורה <math>\ g(a)\in f(a)</math> לכל <math>\ a\in x</math>,
מתקבלת המערכת ZFC (האות C מגיעה מהמלה ה[[אנגלית]] choice). כדי לקבל כאן פסוק חוקי, צריך לפרוש את המושג "פונקציה מ- x" לביטוי המכיל רק את היחס "שייך"; זהו תרגיל קל יחסית.
| |||