משפט השאריות הסיני – הבדלי גרסאות

 

יהי <math>\ R</math> [[חוג (מבנה אלגברי)|חוג]] עם יחידה. נניח שהאידאלים <math>\ I_1,\dots,I_k</math> הם 'זרית בזוגות' (או 'מקסימליים הדדית'), כלומר <math>\ I_i+I_j = R</math> לכל <math>\ i\neq j</math>. אז [[חוג מנה|חוג המנה]] <math>\ R/(I_1 \cap \dots \cap I_k)</math> איזומורפי, לפי ההטלה הטבעית, ל[[סכום ישר|סכום הישר]] של החוגים <math>\ R/I_1 \oplus \dots \oplus R/I_k</math>. ההטלה הטבעית היא חח"ע אם ורק אם חיתוך האידאלים ריק (חיתוך האידאלים הוא גרעין ההטלה), והיא על אם ורק אם האידאלים זרים בזוגות.

 

המשפט חל, לדוגמה, כאשר האידאלים <math>\ I_1,\dots,I_k</math> כולם [[אידאל מקסימלי|אידאלים מקסימליים]] שונים זה מזה. במקרה זה חוגי המנה <math>\ R/I_i</math> הם שדות, ואז <math>\ R/(I_1 \cap \dots \cap I_k)</math> הוא [[חוג קומוטטיבי]] [[חוג ראשוני למחצה|ראשוני למחצה]].