בעיית שטיינר – הבדלי גרסאות

'''בעיית שטיינר''' היא בעיה שהציג ה[[גאומטריה|גאומטרן]] ה[[שווייצרי]] [[יעקב שטיינר]] ב-[[1850]], בירחון המדעי של August Leopold Crelle. שטיינר שאל על "המכפלה המקסימלית של החלקים של מספר", כלומר, מהו הערך המקסימלי של המכפלה <math>\ a_1 \dots a_{n/m}</math>, כאשר <math>\ a_1,\dots,a_{n/m}</math> הם חלקים של מספר קבוע, n. לפי [[אי שוויון הממוצעים]], הערך המקסימלי מתקבל כאשר כל החלקים שווים זה לזה (ול-m), וערכו <math>\ m^{n/m} = (m^{1/m})^n</math>. מכאן עולה כי כדי למצוא את הערך המקסימלי (עבור n נתון) יש לבחור m כך ש- <math>\ \sqrt[m]{m}</math> יהיה מקסימלי. שטיינר מציין כי "קל למצוא" שה[[נקודת קיצון|מקסימום]] מתקבל כאשר m שווה ל[[℮ (קבוע מתמטי)|בסיס הלוגריתם הטבעי]] (ואכן, זהו תרגיל בסיסי ב[[חשבון אינפיניטסימלי]]). במכתבו לירחון הוא מוסיף כי לכל מספר (חיובי) אחר c קיים בן-זוג יחיד d, שעבורו <math>\ \sqrt[c]{c}=\sqrt[d]{d}</math>.

 

== מקורות ==