משפט שטיינר-הויגנס – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Luckas-bot (שיחה | תרומות) מ r2.5.2) (בוט מוסיף: uk:Теорема Штейнера |
הוספת הוכחה, שינוי שם המרחק בין הצירים ל-r לשם נוחות, הרחבה |
||
שורה 1:
[[תמונה:Parallelaxes.jpg|שמאל|ממוזער|350px|מקרה כללי בו אפשר ליישם את משפט שטיינר]]
[[תמונה:Ixx.gif|שמאל|ממוזער|350px|דוגמה לנתוני מומנט ההתמד של שטחים מסוימים סביב ציר העובר במרכז הכובד שלהם.]]
'''משפט שטיינר'''( נקרא גם '''משפט הצירים המקבילים''') הוא משפט במכניקה העוסק ב[[מומנט התמד|מומנטי התמד]] של המסה ו[[מומנט ההתמד של השטח|מומנט התמד של שטח חתך]]. אם ידוע לנו מומנט ההתמד של גוף או של שטח סביב ציר העובר דרך מרכז הכובד שלו, אזי נוכל למצוא את מומנט ההתמד שלו בקלות סביב כל ציר מקביל אחר המרוחק מרחק <math>\
משפט שטיינר מנוסח עבור מומנטי התמד של המסה:
:<math>\ I_s = I_{cm} + m
משפט שטיינר מנוסח באופן דומה עבור מומנטי ההתמד של השטח:
:<math>\ I_s = I_{c} + A
*<math>\ I_s</math> - הוא מומנט ההתמד סביב ציר נתון S.
*<math>\ I_{c}</math> - הוא מומנט ההתמד סביב ציר C.
שורה 12:
* <math>\ m</math> - היא המסה שמחשבים את מומנט האינרציה שלה.
* <math>\ A</math> - הוא שטח החתך שמחשבים את מומנט האינרציה שלו.
* <math>\
מומנט ההתמד בציר המקביל לציר ביחס אליו ידוע מומנט ההתמד שווה לאותו מומנט התמד ועוד מסת הגוף או שטח הגוף כפול המרחק בין הצירים בריבוע.
שורה 20:
המשפט נקרא על שם הגאומטרן השווייצרי [[יאקוב שטיינר]].
== הוכחה ==
עבור גוף קשיח כלשהו, נניח, בלי הגבלת הכלליות, כי [[במערכת קורדינטות קרטזית]] המרחק האנכי מציר s, לציר סיבוב מקביל לו, העובר דרך מרכז המסה, הינו לאורך ציר ה-''x'' ,כך שציר הסיבוב מקביל לציר ה-''z''. כמו כן, לצורך נוחות נניח כי ראשית מערכת הצירים נמצאת במרכז המסה של הגוף. [[מומנט התמד|מומנט ההתמד]] של הגוף, יחסית למרכז המסה הינו לכן:
:<math>I_{cm} = \int{(x^2 + y^2)} dm</math>
מומנט האינרציה ביחס לציר הנתון s (המצוי במרחק <math>\ r</math> לאורך ציר ה-''x'', ממרכז המסה) הינו:
:<math>I_s = \int{((x - r)^2 + y^2)} dm</math>
נפתח את הסוגרים ונקבל:
:<math>I_s = \int{(x^2 + y^2)} dm + r^2 \int dm - 2r\int{x} dm</math>
האיבר הראשון הינו <math>\ I_{cm}</math>, האיבר השני הינו <math>\ mr^2</math>, ואילו האיבר השלישי מתאפס משום ש-'''''x''''' נמדד ממרכז המסה (אינטגרל זה שווה בעצם למיקום רכיב ציר ה-''x'' של מרכז המסה, ולכן ביחס למרכז המסה, מיקומו = 0).
כלומר נקבל את הביטוי:
:<math> I_s = I_{cm} + mr^2\,</math>
== לקריאה נוספת ==
| |||