מכפלת ואליס

במתמטיקה, מכפלת ואליס לחישוב פאי, הנקראת על שם ג'ון ואליס שגילה אותה בשנת 1655, היא הנוסחה הבאה:

בשנת 2015 הפיזיקאי קארל ריצ'רד האיגן (Carl Richard Hagen) הוכיח כי יש קשר בין מכפלת ואליס לחישוב מודל בוהר של אטום חמצן.

הוכחה

עריכה

הוכחה על בסיס מכפלת אוילר לפונקציית סינוס

עריכה
 

נציב x =π/2:

 

הוכחה על בסיס אינטגרציה

עריכה

נגדיר:

 

נבצע אינטגרציה בחלקים:

 
 

נשתמש במשוואה פונקציונלית הזו בדרך הבאה:

 

נחזור על התהליך ונראה כי:

 
 

נחזור על התהליך ונראה כי:

 
 
 
 , (מהתוצאות הנ"ל)

ניתן לראות על פי כלל הסנדוויץ' כי:

 
 
 

קישורים חיצוניים

עריכה