ממוצע משוקלל

ממוצע משוקלל הוא ממוצע חשבוני שבו לערכים שונים ניתנת חשיבות ("משקל") שונה. ערכו של הממוצע המשוקלל הוא סכום המכפלות של כל ערך במשקל שלו, מחולק בסכום המשקלים. הממוצע החשבוני הפשוט הוא מקרה פרטי של הממוצע המשוקלל כאשר כל המשקלים שווים זה לזה.

דוגמה ידועה לשימוש בממוצע משוקלל היא חוק המנוף של ארכימדס, שמצא שהמומנט שמפעיל מנוף שווה למשקל שעליו כפול המרחק מציר הסיבוב. כהרחבה לחוק זה ניתן למצוא את מרכז הכובד של מערכת גופים: מרכז הכובד היא הנקודה שבה סכום המכפלות של משקל כל גוף במרחקו (וקטור המרחק) מהנקודה, כלומר הממוצע המשוקלל של המרחק, הוא אפס. דוגמה נוספת היא מושג התוחלת בהסתברות שהוא הממוצע המשוקלל של הערכים השונים של משתנה מקרי כשהמשקלים הם ההסתברות של כל אחד מהם.

הגדרה

בהינתן סדרה של ערכים $\ x_{1},\dots ,x_{n}$ ומשקלים $\ w_{1},\dots ,w_{n}$ הממוצע המשוקלל הוא

$$\ {\bar {x}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}\cdot x_{i}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}$$

דוגמה

כדוגמה יומיומית, נחשב צריכת חשמל ממוצעת של מכונות כביסה בישראל.

נשקלל את כל הדגמים על פי שכיחותם בישראל. נשתמש בטבלה הבאה, בה המשקל הוא מספר המכונות בישראל, והערך למיצוע הוא צריכת החשמל להפעלה אחת של מכונה.

סוג מכונה	הערך למיצוע צריכת חשמל להפעלה (קוט"ש=קילוואט-שעה)	המשקל מספר המכונות בישראל
דגם א'	2 קוט"ש	9000 מכונות
דגם ב'	3.5 קוט"ש	5000 מכונות
דגם ג'	2.5 קוט"ש	6000 מכונות

הממוצע המשוקלל הוא: $\ {\frac {2\times 9000+3.5\times 5000+2.5\times 6000}{9000+5000+6000}}={\frac {50,500}{20,000}}=2.525$קוט"ש.

ראו גם

• ממוצע חשבוני
• חוק המנוף

קישורים חיצוניים

• יוסי לוי, ממוצע משוקלל – איך ולמה, באתר "נסיכת המדעים"
• ממוצע משוקלל, באתר MathWorld (באנגלית)