מספר קית'

במתמטיקה, מספר קית' (באנגלית: Keith number; נקרא גם Repfigit, קיצור ל-Repetative Fibonacci-like Digit, כלומר "ספרה דמוית-פיבונאצ'י חוזרת") הוא מספר טבעי בעל n ספרות (שתיים לפחות), שמקיים את התנאי הבא: בהינתן סדרה שאיבריה הראשונים הם ספרותיו של המספר, ושאר איבריה מוגדרים על ידי נוסחת נסיגה הקובעת כי כל איבר בסדרה הוא סכום n האיברים הקודמים לו, המספר המקורי מופיע כאחד האיברים בסדרה.

שמם של מספרי קית' ניתן להם על שמו של המתמטיקאי מייק קית', אשר פרסם בשנת 1987 מאמר אודות מספרים אלה בכתב עת לשעשועי מתמטיקה.

פירוט

בהינתן מספר בעל n ספרות המוגדר באופן הבא:

$N=\sum _{i=0}^{n-1}10^{i}{d_{i}}$

ניתן לייצר את הסדרה $\ S_{N}$ ש-n איבריה הראשונים הם $d_{n-1},d_{n-2},\ldots ,d_{1},d_{0}$, ושנוסחת הנסיגה שלה קובעת כי האיבר הכללי בסדרה הוא סכום n האיברים שלפניו. אם המספר המקורי N מופיע בסדרה $\ S_{N}$ כאחד מאיבריה, אזי N הוא מספר קית'.

לדוגמה, עבור המספר 197 ניצור את הסדרה $1,9,7,17,33,57,107,197,\ldots$ (שלושת האיברים הראשונים הם 1, 9 ו-7, הספרות מהן מורכב המספר 197). ניתן לראות כי המספר המקורי 197 מופיע כאיבר בסדרה - ולכן הוא מוגדר כמספר קית'.

מהגדרת המספר ניכר שתכונה זו תלויה בשיטת הספירה שבה נכתב המספר - מספר שהוא מספר קית' בסיס עשרוני אינו בהכרח כזה בבסיס אחר. 14, למשל, הוא מספר קית' בבסיס עשרוני ובבסיס 5, אך אינו מספר קית' בבסיס 6.

30 מספרי קית' הראשונים בבסיס עשרוני הם: 14, 19, 28, 47, 61, 75, 197, 742, 1104, 1537, 2208, 2580, 3684, 4788, 7385, 7647, 7909, 31331, 34285, 34348, 55604, 62662, 86935, 93993, 120284, 129106, 147640, 156146, 174680, 183186.

עד כה לא הוכח האם מניינם של מספרי קית' הוא סופי או אינסופי. מבין המספרים הטבעיים הקטנים מ-10¹⁹, רק 71 הם מספרי קית' - מה שהופך אותם לנדירים בהרבה ממספרים ראשוניים, למשל.

קישורים חיצוניים

• מספר קית', באתר MathWorld (באנגלית)
• מספרי קית' באתר OEIS – האנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים