מסרק דיראק

במתמטיקה, מסרק דיראק או מסרק הלמים (או רכבת הלמים) (בעיבוד אותות) סדרה אינסופית, מחזורית של פונקציית דלתא של דיראק המבוטאת כך:

מסרק דיראק הוא סדרה אינסופית של הלמים במחזור T.

$\Delta _{T}(t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (t-kT)$

ומאחר והסדרה מחזורית היא ניתנת לייצוג כטור פורייה:

$\Delta _{T}(t)={\frac {1}{T}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{i2\pi nt/T}.$

המסרק של דיראק שימושי מאוד בתחומי הנדסת חשמל, עיבוד אותות ומערכות אופטיות.

תכונת ההכפלה

תכונת ההכפלה נגזרת ישירות מתכונות פונקציית דלתא של דיראק:

$\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (t-kT)=|\alpha |\cdot \sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta {\bigg (}\alpha \cdot (t-kT){\bigg )}.$

טור פורייה

ממחזוריות הפונקציה ב T נובע:

$\Delta _{T}(t+T)=\Delta _{T}(t)\quad \forall t$.

טור פורייה מרוכב לפונקציה מחזורית זו:

$\Delta _{T}(t)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}e^{i2\pi nt/T}\$

כאשר קבועי פוריה הם:

$={\frac {1}{T}}\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}\Delta _{T}(t)e^{-i2\pi nt/T}\,dt\quad (-\infty <t_{0}<+\infty )\$	$c_{n}\,$
$={\frac {1}{T}}\int _{-T/2}^{T/2}\Delta _{T}(t)e^{-i2\pi nt/T}\,dt\$
$={\frac {1}{T}}\int _{-T/2}^{T/2}\delta (t)e^{-i2\pi nt/T}\,dt\$
$={\frac {1}{T}}e^{-i2\pi n\,0/T}\$
$={\frac {1}{T}}.\$

והתוצאה :

$\Delta _{T}(t)={\frac {1}{T}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{i2\pi nt/T}$.

התמרת פורייה

התמרת פורייה של מסרק דיראק היא גם מסרק דיראק:

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT)\quad {\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow }}\quad {1 \over T}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(f-{k \over T}\right)\quad =\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi fnT}$

עד כדי קבוע

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT)\quad {\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow }}\quad {\frac {\sqrt {2\pi }}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(\omega -k{\frac {2\pi }{T}}\right)\quad ={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{-i\omega nT}\,$

דגימה

הכפלה של אות רציף במסרק דיראק היא אות דגום אידיאלי ושימושית מאוד בתורת הדגימה.

מקורות

• Bracewell, R.N., The Fourier Transform and Its Applications (McGraw-Hill, 1965, 2nd ed. 1978, revised 1986)

ראו גם

• עיבוד אותות
• רכבת פולסים

קישורים חיצוניים

• מסרק דיראק, באתר MathWorld (באנגלית)