משפט היחידות (אנליזה מרוכבת)

באנליזה מרוכבת, משפט היחידוּת (או משפט הזהות) קובע שפונקציה הולומורפית נקבעת בכל תחומה על פי ערכיה בקבוצה קטנה יחסית של נקודות.

ניסוח פורמליעריכה

יהיו   ו-  פונקציות הולומורפיות המוגדרות בקבוצה קשירה ופתוחה  , ותהי   קבוצה בעלת נקודת הצטברות ב-  כך ש-  לכל  , אזי   לכל  .

הערותעריכה

  • התנאי של-  תהיה נקודת הצטברות ב-  הכרחי. הפונקציות   ו-  הן שתי פונקציות שונות שהולומורפיות במישור הנקוב  , ומתאפסות בקבוצה   שנקודת ההצטברות היחידה שלה היא 0.
  • האנלוג הממשי של המשפט אינו נכון.   ו-  הן פונקציות שונות הגזירות בכל הישר הממשי ומזדהות בקטע  . על כן משפט היחידות מחזק את ההבנה שגזירות במובן המרוכב היא תנאי חזק בהרבה מגזירות במובן הממשי.

הוכחהעריכה

נקדים להוכחת המשפט שלוש למות שימושיות.

למותעריכה

תהי   פונקציה הולומורפית המוגדרת בקבוצה פתוחה  . תהי   קבוצת האפסים של  . תהי   הקבוצה הנגזרת של   ב-  (קבוצת כל נקודות ההצטברות שלה ב- ). שלוש הלמות הבאות מתקיימות באופן טריוויאלי אם   ריקה, ולכן נניח שאינה כזו.

  • למה 1 -  :

יהי  .   נקודת הצטברות של   ולכן קיימת סדרה   כך שלכל n,  , וכן  .   רציפה ולכן  . ומכאן ש- .

תהי   נקודת הצטברות של  . לפי למה 1  , ולכן   נקודת הצטברות של  , כלומר  .   מכילה את כל נקודות ההצטברות שלה ולכן היא סגורה.

יהי  . עלינו להוכיח כי קיימת סביבה של   המוכלת ב- . מההולומורפיות של   ב-  נובע כי ניתן לפתח את   לטור חזקות בעיגול   סביב  :

 

נניח על דרך השלילה כי לא כל המקדמים בטור הם 0. משמע קיים   טבעי קטן ביותר כך ש- . נסמן:

 

  מתכנס ב-  לפי מבחן ההשוואה עם  .  . מכיוון ש-  רציפה, קיימת סביבה   של   כך שלכל   מתקיים  . על כן לכל   מתקיים:

 

ולכן   נקודה מבודדת ב-  בסתירה להגדרת  . על כן הנחת השלילה שגויה ו-  לכל   טבעי. מכאן שלכל   מתקיים  , ולכן  . אולם בעיגול כל נקודה היא נקודת הצטברות ולכן  .

הוכחת משפט היחידותעריכה

נגדיר  . לפי למה 2 ולמה 3   היא קבוצה פתוחה וסגורה. מכיוון ש-  קבוצה קשירה, מתקיים   או  . אולם   ולפי הנתון   אינה ריקה. מכאן ש- , ולכן לפי למה 1  . משמע   לכל  .

מסקנותעריכה

  • יהיו   ו-  פונקציות הולומורפיות המוגדרות בקבוצה קשירה ופתוחה  , ותהי נקודה   ב-  כך שלכל   טבעי  , אזי   לכל  . זאת מכיוון שלשתי הפונקציות אותו טור טיילור סביב  , ולכן הן מזדהות בעיגול סביב  .
  • כל אפס של פונקציה הולומורפית שאינה פונקציית האפס הוא אפס מבודד (קיימת לו סביבה נקובה שאין בה אפסים). אחרת לפי עקרון היחידות זו פונקציית האפס.
  • המשכה אנליטית שומרת על יחסים פונקציונליים. כל זהות בין פונקציות הולומורפיות המוגדרת על ידי פונקציה הולומורפית בכמה משתנים נשמרת גם אחרי המשכה אנליטית של הפונקציות. למשל הזהות הממשית   מתקיימת גם ל-  מרוכב.