משפט הערך ההתחלתי

באנליזה מתמטית, משפט הערך ההתחלתי הוא משפט המקשר בין ביטויים בתחום התדר להתנהגות מערכת בתחום הזמן כשהזמן שואף לאפס.

ניסוח פורמלי

תהי $F(s)$ התמרת לפלס של פונקציה ממשית $f(t)$, כלומר $F(s)=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt$. אם $f$ חסומה בתחום הפתוח $(0,\infty )$ והגבול $\lim _{t\to 0^{+}}f(t)$ קיים, אזי מתקיים $\lim _{t\,\to \,0^{+}}f(t)=\lim _{s\to \infty }{sF(s)}$.

הוכחה

$f(t)$ חסומה והגבול $\lim _{t\to 0^{+}}f(t)$ קיים, כלומר $\lim _{t\to 0^{+}}f(t)=\alpha$. באמצעות החלפת משתנה ניתן להראות לכל $0<t$ ש־$\lim _{s\to \infty }f\left({\frac {t}{s}}\right)=\alpha$ וכן ש־$sF(s)=\int _{0}^{\infty }f\left({\frac {t}{s}}\right)e^{-t}\,dt$.

נפעיל גבול על שני צִדי המשוואה:

$\lim _{s\to \infty }sF(s)=\lim _{s\rightarrow \infty }{\int _{0}^{\infty }{f\left({\frac {t}{s}}\right)e^{-t}}dt}$

הפונקציות $f\left({\frac {t}{s}}\right)e^{-t}$ חסומות כולן על ידי הפונקציה $Me^{-t}$ (עבור $M$ גדול מספיק), שהיא אינטגרבילית על הקרן $(0,\infty )$. בנוסף לזה, משפחת הפונקציות הזו מתכנסת נקודתית לפונקציה $\alpha e^{-t}$. על פי משפט ההתכנסות הנשלטת, כל אחת מהפונקציות במשפחה היא אינטגרבילית, וגבול האינטגרלים הוא האינטגרל של פונקציית הגבול:

${\begin{aligned}\lim _{s\to \infty }sF(s)&=\lim _{s\rightarrow \infty }{\int _{0}^{\infty }{f\left({\frac {t}{s}}\right)e^{-t}}dt}=\\&=\int _{0}^{\infty }{\lim _{s\rightarrow \infty }{f\left({\frac {t}{s}}\right)}e^{-t}}dt\\&=\int _{0}^{\infty }\alpha e^{-t}\,dt=\alpha \end{aligned}}$

ולכן:

$\lim _{t\,\to \,0^{+}}f(t)=\lim _{s\to \infty }{sF(s)}$

מ.ש.ל

$\blacksquare$

ראו גם

• משפט הערך הסופי