משפט הפרפר

משפט הפרפר הוא משפט בגאומטריה אוקלידית.

נתון: M אמצע PQ, צ"ל: MX=MY

יהי PQ מיתר נתון כלשהו במעגל, ש-M היא נקודת האמצע שלו. נעביר דרך M שני מיתרים נוספים, AB ו-CD, כך ש-A ו-C באותה קשת שהמיתר PQ קובע. מעבירים את המיתרים AD ו-BC ומסמנים את נקודות החיתוך שלהם עם PQ ב-X וב-Y בהתאמה. המשפט קובע כי מתקיים MX=MY.

המשפט קרוי "משפט הפרפר" בשל העובדה שהבנייה הנתונה בו דומה לפרפר. למשפט זה אין כמעט שימושים והוא ידוע בעיקר בשל האתגר שבהוכחתו.^{[דרוש מקור]} למרות הניסוח הפשוט של המשפט, הוא קשה להוכחה. בשל כך הוא ידוע גם כ"בעיית הפרפר".

הוכחה

נעזר בעובדה הבאה: אם לשני משולשים יש זווית זהה, אז יחס השטחים שלהם שווה ליחס בין הצלעות הכולאות אותה. הדבר נובע מן הנוסחה: $S={\frac {ab\sin \gamma }{2}}$.

זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות זו לזו, וזוויות קודקודיות שוות זו לזו, כלומר: $\angle CDA=CBA$, $\angle DAB=DCB$, $\angle AMX=BMY$, $\angle CMY=DMX$

כתוצאה מהעובדה שהוזכרה במשפט הראשון נובעים ארבעת השוויונות הבאים:

${\frac {S_{XAM}}{S_{MCY}}}={\frac {AX\cdot AM}{CM\cdot CY}}$

${\frac {S_{CMY}}{S_{DMX}}}={\frac {CM\cdot MY}{DM\cdot MX}}$

${\frac {S_{XDM}}{S_{MBY}}}={\frac {DX\cdot DM}{BM\cdot BY}}$

${\frac {S_{BMY}}{S_{AMX}}}={\frac {BM\cdot MY}{AM\cdot MX}}$

הכפלת אגפי שמאל זה בזה מביאה לתוצאה 1, ולכן גם הכפלת אגפי ימין צריכה להביא לתוצאה זאת. לאחר ביטול איברים זהים מתקבל

${\frac {AX\cdot DX\cdot MY^{2}}{CY\cdot BY\cdot MX^{2}}}=1$, או (1) ${\frac {AX\cdot DX}{CY\cdot BY}}={\frac {MX^{2}}{MY^{2}}}$.

לפי דרגה של נקודה: $AX\cdot DX=PX\cdot QX=(MP-MX)(MQ+MX)$

ובדומה לכך: $CY\cdot BY=QY\cdot PY=(MQ-MY)(MP+MY)$

נציב ב-(1): ${\frac {(MP-MX)(MQ+MX)}{MX^{2}}}={\frac {(MQ-MY)(MP+MY)}{MY^{2}}}$

אבל MP=MQ, ולכן מתקבל: ${\frac {MP^{2}}{MX^{2}}}-1={\frac {MP^{2}}{MY^{2}}}-1$ ומכאן MX=MY. $\blacksquare$

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא משפט הפרפר בוויקישיתוף

• משפט הפרפר באתר cut-the-knot (באנגלית)
• אבי סינגלר, משפט "עניבת הפרפר" במעגל ובאליפסה
• משפט הפרפר, באתר MathWorld (באנגלית)