פתיחת התפריט הראשי

משפט קושי (תורת הטורים)

(הופנה מהדף משפט מרטן)

משפט קושי לטורים קובע שטור שמוגדר כמכפלה של טורים מתכנסים בהחלט, מתכנס בהחלט אף הוא, וסכומו הוא מכפלת הסכומים של הטורים שמגדירים אותו.

ניסוח פורמליעריכה

יהיו   ו-  טורים מתכנסים בהחלט ל-A ול-B בהתאמה, אזי הטור שמוגדר   מתכנס אף הוא בהחלט וסכומו הוא AB.

הערה פורמלית: כדי לקבוע שטור מתכנס יש להגדיר אותו כסכום על קבוצה בת-מניה. אמנם לא קיים סדר "טבעי" במכפלה של טורים, אך קיימים אינסוף סדרים אפשריים כך שכל איברי המכפלה יהיו סדורים. למשל ניתן להתייחס לכל סכום חלקי של הטור כאל קונבולוציה:  .

משפט מרטןעריכה

משפט קושי עוסק בטור המכפלה ללא סדר מוגדר על האיברים. הוא קרוב ברוחו למשפט מרטן, העוסק באותו טור עם סדר האיברים הטבעי, כדלקמן. יהיו   ו-  טורים מתכנסים, שאחד מהם מתכנס בהחלט. אז הטור שמוגדר   מתכנס אף הוא בהחלט וסכומו הוא AB.

הקשר בין שני הטורים הוא שהטור המתואר במשפט מרטן מתקבל מהטור המתואר במשפט קושי באמצעות הכנסת סוגריים לסידור נתון של הטור. בדרך כלל הכנסת סוגריים לטור ניתנת ללא שינוי הסכום, אם מספר האיברים בכל סוגריים חסום והאיבר הכללי שואף לאפס או אם כל האיברים בכל סוגריים שווי-סימן. משפט מרטן קובע שהכנסת סוגריים לטור המתואר במשפט קושי מותרת בהינתן הסדר המתואר ללא התנאים הללו.

הוכחה של משפט קושיעריכה

מכיוון שבהתכנסות בהחלט כל איברי הטור חיוביים, הרי שסדרת הסכומים החלקיים מונוטונית עולה, ולפיכך מספיק להראות שהיא חסומה כדי להסיק שהיא מתכנסת. נניח כי נתון סכום חלקי כלשהו, אפשר לחסום כל סכום חלקי של טור המכפלה באמצעות מכפלת הסכומים החלקיים  , כאשר n הוא אינדקס מקסימלי בין כל איבר בסכום החלקי הנתון של המכפלה. ביטוי זה חוסם את הסכום החלקי מכיוון שכל הקומבינציות של המכפלות האפשריות מופיעות בו, והוא כמובן חסום על ידי סכומי הטורים עצמם, ומכאן שזו סדרה מתכנסת.

מהנתון שזו סדרה מתכנסת נובע שכל תת-סדרה שלה מתכנסת לאותו גבול, לכן מספיק למצוא תת-סדרה כלשהי שמתכנסת ל-AB. אם מתבוננים בסידור של איברי המכפלה מהצורה הבאה:  , ולוקחים תת-סדרה מהצורה  , ניתן להסיק שהגבול ב-n ששואף לאינסוף הוא AB.