משפט נגטה-היגמן

באלגברה, משפט נגטה-היגמן הוא משפט הקובע שכל אלגברה אסוציאטיבית (בלי יחידה) מעל שדה ממאפיין 0, שהיא נילית מדרגה חסומה, היא נילפוטנטית. במלים אחרות [1] לכל קיים קבוע כך שאם לכל , אז לכל , המכפלה שווה לאפס. הקבוע נמצא בטווח , ומשערים שהוא שווה לחסם התחתון, אבל ערכו המדויק אינו ידוע.

המשפט, כפי שנוסח כאן, נכון גם כאשר המאפיין חיובי וגדול מ-, אבל במקרה הכללי הוא נכון רק כאשר נוצרת סופית. למעשה מתקיים העידון הבא: לכל ולכל יש קבוע כך שכל אלגברה עם יוצרים, מעל שדה ממאפיין , שכל אבריה נילפוטנטיים מדרגה לכל היותר, היא נילפוטנטית מדרגה לכל היותר. גם כאן הערך המדויק של אינו ידוע; ל- קבוע קיים תת-מעריכי מהצורה , ואם מגבילים את המאפיין לטווח , ידוע גם חסם פולינומי ב-[2].

היסטוריהעריכה

את המשפט הוכיחו ב-1943 Dubnov ו-Ivanov, אלא שמן הגרסה שלהם, שהתפרסמה באמצע המלחמה בכתב-עת רוסי, התעלמו עד שהתגלתה מחדש כארבעים שנה מאוחר יותר. ב-1952 [3] הוכיח Nagata את קיומו של חסם עליון, עצום בגדלו, למספרים  , ובכך הוכיח את המשפט. הוא הראה גם שהמשפט אינו נכון, כלשונו, במאפיין חיובי. מעט אחר-כך, ב-1956 [4] הוכיח גרהם היגמן את המשפט למאפיין חיובי גדול מ- , ומצא חסם עליון טוב יותר, מעריכי, וגם חסם תחתון ריבועי.

ב-1975 שיפר Kuzmin את החסם התחתון ל- , ושער שזהו שוויון (במאפיין אפס). השערה זו נבדקה ונמצאה נכונה עבור  .

בשפה של תורת הזהויות, המשפט קובע (במאפיין אפס) שלכל   קיים   כך ש-  נמצא ב-T-אידיאל של  ; כלומר,   שייך לאידיאל של האלגברה החופשית   הנוצר על ידי כל החזקות  . תרגום הבעיה לשפת המטריצות הגנריות אִפשר ל-Razmyslov להוכיח את החסם  , שהוא הטוב ביותר הידוע כיום.

הערות שולייםעריכה

  1. ^ הטענה השנייה חזקה יותר לכאורה משום שהיא מספקת חסם אחיד לכל האלגברות, אבל אין בזה חידוש משום שהחסם של האלגברה החופשית מתאים לכולן
  2. ^ [1]
  3. ^ M. Nagata, On the nilpotency of nil-algebras, J. Math. Soc. Japan 4 (1952), 296-301
  4. ^ G. Higman, On a conjecture of Nagata, Proc. Cemb. Phil. Soc. 52 (1956), 1-4.