משתמשת:Chenspec/פרינקיפיה מתמטיקה (ראסל)

רעיונות פרמיטיביים

Cf. PM 1962:90–94, עבור המהדורה הראשונה:

• 1. טענות יסודיות.
• 2. טענות יסודיות של פונקציות.
• 3. טענה: הצגה של המושגים "אמת" ו"שקר".
• 4. טענה של היגדים פונקציונאליים (propositional function)
• 5. שלילה: "אם p היא טענה כלשהי, הטענה "לא-p" או "p היא שיקרית" תהיה מיוצגת על ידי "p~".
• 6. הפרדה (Disjunction): "אם p ו- q הן טענות כלשהן, הטענה "p או q" כלומר "או ש-p נכונה או ש- q נכונה", כאשר שתי האפשרויות אינן סותרות אחת את השנייה, יסומנו על ידי "p ∨ q" 
• (cf. section B)

טענות פרמיטיביות

המהדורה הראשונה (ראה את הדיון על המהדורה השנייה בהמשך) מתחילה עם הגדרת הסימן "⊃"

✸1.01. p ⊃ q .=. ~ p ∨ q. Df.

✸1.1. כל מה שנגרר או מרומז (implied) על ידי טענה אמיתית בסיסית הוא אמת. Pp מודוס פונס

(✸1.11 ניטש במהדורה השנייה.)

✸1.2. ⊦: p ∨ p .⊃. p. Pp עיקרון של טאוטולוגיה

✸1.3. ⊦: q .⊃. p ∨ q. Pp עקרון החיבור

✸1.4. ⊦: p ∨ q .⊃. q ∨ p. Pp עיקרון החילוף

✸1.5. ⊦: p ∨ ( q ∨ r ) .⊃. q ∨ ( p ∨ r ). Pp עקרון הקיבוץ

✸1.6. ⊦:. q ⊃ r .⊃: p ∨ q .⊃. p ∨ r. Pp עקרון החיבור

✸1.7. אם p היא תענה בסיסית, ~p היא נענה בסיסית. Pp

✸1.71. אם p ו- q הן טענות בסיסיות, p ∨ q i היא טענה בסיסית. Pp

✸1.72. אם φp ו- ψp הן טענות בסיסיות פונקציונאלית (elementary propositional functions) functions שמשתמשות בטענות בסיסיות כארגומנטים (arguments), φp ∨ ψp היא טענה בסיסית. Pp

יחד עם ה"הקדמה למהדורה השנייה", נספח A של המהדורה השנייה זונח את כל סעיף ✸9. זה כולל שיש טענות פרימיטיביות ✸9 עד ✸9.15 יחד עם אקסיומות הפריקות (reducibility)

התאוריה המחודשת (revised theory) נהיית קשה יותר עקב ההצגה של קו שֶׁפֶר ("|") לסימול "אי התאמה" (למשל, אם שתי הטענות הבסיסיות p ו- q אמיתיות, ה"קו" שלהן p | q הוא שיקרי), התואם ל"לא-וגם" הלוגי ( NAND: not-AND). בתאוריה המחודשת, ההקדמה מציגה את המושג של "טענות אטומיות" (atomic proposition), "נתון" אשר "מקושר לחלק הפילוסופי של הלוגיקה". אין להן חלקים שהם טענות והם לא מכילים את המושגים "הכל" או "חלק". לדוגמה: "זה אדום", או "זה מוקדם יותר ממנו". דברים כאלו יכולים להתקיים כ- ad finitum, למשל גם "מנייה אין סופית" (infinite eunumeration) שלהם להחלפת ה"הכללה" (generality). כמו למשל המושג "לכל". PM "מתקדמת לטענות מולקולריות" המקושרות על ידי קו שפר. הגדרות נותנות שקילות עבור "~", "∨", "⊃", ן- ".". 

ההקדמה החדשה מגדירה "טענות בסיסיות" כטענות אטומיות ומולקולריות ביחד. או אז היא מחליפה את כל הטענות הפרמיטיביות ✸1.2 עד ✸1.72 עם טענה פרמיטיבית בודד,  המבוססת על המושגים של קו שפר:

"אם p, q, r הן טענות בסיסיות, בהינתן p ו- p|(q|r), אנו יכולים להסיק את r. זוהי טענה בסיסית."

ההקדמה החדשה משמרת את המושג של "קיימות" (there exists) אשר עוצבה מחדש כ"אמיתי לפעמים" ו"לכל" אשר שעוצבה מחדש כ"תמיד אמיתי". נספח A מחזק את המושג של "מטריצה" או "פונקציית ניבוי" (predicative function) (טענה בסיסית, PM 1962:164) ומציגה ארבע טענות פריטיביות חדשות כ ✸8.1–✸8.13.

✸88. אקסיומת הכפל  

✸120. אקסיומה של אין סוף

Footnotes

[[קטגוריה:ספרי 1910]] [[קטגוריה:ספרי 1912]] [[קטגוריה:ספרי 1913]] [[קטגוריה:לוגיקה מתמטית]] [[קטגוריה:ספרי מתמטיקה]]